25届（新教材QG版）数学新考案培优课03函数性质的综合应用.docx

培优课03函数性质的综合应用

培优点一函数的单调性与奇偶性结合

典例1若fx是定义在R上的偶函数，且当x∈[0,+∞)时，

解题观摩

[解析]因为fx是偶函数，且当x∈[0,+∞)时，fx

故由fx+

解得-13

1.比较大小问题

一般解法是利用奇偶性，把不在同一个单调区间上的两个或两个以上自变量的函数值转化为在同一单调区间上的有关自变量的函数值，然后利用单调性比较大小.

2.解抽象函数不等式

（1）将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；

（2）利用单调性脱去符号“f”，转化为解不等式（组）的问题.

变更奇偶性

1.若将典例1中的条件“偶函数”改为“奇函数”，则不等式fx+1

[解析]因为fx是奇函数，且当x∈[0,+∞)时，fx是增函数，所以fx在R上单调递增.又fx+1+f

比较大小问题

2.设fx是R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，则f-2,f

[解析]因为fx是R上的偶函数，所以f-2=f2,f-π=fπ.又

解不等式问题

3.已知fx是奇函数，且在0,+∞上是增函数,f2

[解析]由题意知fx在0,+∞上是增函数且f2=0，所以当x∈0,2时，fxf2=0

当x∈-∞,-2时，-

所以fx

所以x,fx,fxx

-∞,-

-

0

2

x

-

-

+

+

f

-

+

-

+

f

+

-

-

+

由表可知，不等式fxx

培优点二函数的奇偶性与周期性结合

典例2设fx是定义在R上的周期为2的偶函数，已知当x∈[2,3]时，fx=x

解题观摩

[解析]当x∈[-2,-

fx=

当x∈[-1,0]时，-

所以f

综上所述，当x∈[-2,

已知函数的奇偶性、周期性求函数值或函数解析式，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解.

由fx+a

1.（多选题）已知函数fx的定义域为R，若fx+1与

A.fx是偶函数 B.f

C.fx+3是偶函数

[解析]由题意知函数fx的定义域为R，因为fx+1是偶函数，所以

因为fx-1是偶函数，所以f-x-1=f

因为f-x-1=fx-1

求解析式变为求值

2.已知函数fx的图象关于原点对称，且周期为4，f3=

[解析]由题意得f2025

培优点三函数的奇偶性与对称性结合

典例3函数y=f2x-1是R上的奇函数（审题①推出函数f

解题观摩

[解析]因为函数y=f2x-1

则函数y

因为函数y=fx的图象与函数y

所以函数y

所以gx

解决函数的奇偶性与图象的对称性的综合问题时，要注意把已知函数的奇偶性按定义转化，再判断函数图象的对称轴或对称中心；也可以利用图象的变换关系得出函数图象的对称性.总之，要充分利用已知条件进行适当转化.

中心对称变为轴对称

已知函数fx是定义在R上的奇函数，函数gx=x-2f

[解析]因为gx的图象关于直线x=2

因为y=x是偶函数，所以fx+2是偶函数，即fx+2=

培优点四函数的单调性与对称性结合

典例4已知定义在R上的函数y=fx+1-2是奇函数（审题①由奇函数的性质推出图象的对称中心），且对任意两个不相等的实数x1,

解题观摩

[解析]将函数y=fx+1

所以函数f

所以f1

又因为对任意两个不相等的实数x1,x2，都有

即x

由不等式f2x+f1-x≤4，即f2x+f

函数的单调性与对称性相结合的题目主要是利用对称性判断函数在区间上的单调性，在轴对称函数中，函数在关于对称轴对称的两个单调区间上的单调性相反；在中心对称函数中，函数在关于对称中心对称的两个单调区间上的单调性相同.

解集问题变为比大小问题

已知定义在R上的奇函数fx的图象关于直线x=1对称，且y=fx在[0,1]上单调递增.若a=f-

A.cba B.ba

[解析]由函数fx的图象关于直线x=1对称可得f3=f-1，结合奇函数的性质可知，a=f-3=-f3=-f

培优点五函数的奇偶性、对称性与周期性结合

典例5已知定义在R上的函数fx满足fx=f1-x（审题①得到对称轴方程），且函数f

解题观摩

[解析]因为fx=f1

又函数fx+1是奇函数，

所以函数fx

则f2025

所以f2025

解决此类问题的难点在于推出函数的周期性，对于函数的奇偶性、对称性和周期性，这三者知二便可求一.（详情可参考基础课08的知识拓展）

由单函数变为双函数

1.[2022·全国乙卷]已知函数fx,gx的定义域均为R,且fx+g2-x=5,gx

A.-21 B.-22 C.-23

[解析]因为y=gx的图象关于直线x

因为gx-fx-

因为fx+g2-x=5，所以fx

因为fx+g2-x=

所以f2

因为gx-f

又因为fx+g2-