25届（新教材QG版）数学新考案基础课19任意角、弧度制和三角函数的概念.docx

第四单元三角函数、解三角形

基础课19任意角、弧度制和三角函数的概念

考点考向

课标要求

真题印证

考频热度

核心素养

任意角的三角函数

理解

2023年全国乙卷（文）T

2023年北京卷T

★★☆

数学运算

直观想象

命题分析预测

从近几年高考的情况来看，高考一般不单独考查任意角、弧度制和三角函数的概念，三角函数的定义一般在立体几何、解析几何中用到.预计2025年高考不会单独命题

一、角的概念的推广

1.定义：角可以看成是平面内的一条射线绕着它的①端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.

2.分类：按旋转方向不同分为②正角、③负角、④零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.

3.所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合⑤S={β|β=

二、弧度制及相关公式

1.定义：把长度等于⑥半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，弧度记作rad.

2.公式

角α的弧度数公式

α=⑦lr

角度与弧度的换算

1°=π

弧长公式

弧长l

扇形面积公式

S

【提醒】角度与弧度换算的关键是πrad=180°,在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.用弧度制表示角时，“弧度”二字或“

三、任意角的三角函数

1.定义

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点Px,y,那么sinα=⑩y,cosα

2.定义的推广

设Px,y是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为rr0，那么

3.三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图所示.

1.终边相同的角与对称性拓展

（1）β与α终边相同?β

（2）β与α终边关于x轴对称?β

（3）β与α终边关于y轴对称?β

（4）β与α终边关于原点对称?β

2.终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同.在书写与α终边相同的角时，单位必须一致.

题组1走出误区

1.判一判.（对的打“√”,错的打“×”）

（1）若sinα0，则α

（2）锐角是第一象限角，反之亦然.(×)

（3）将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.(×

（4）相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.(×)

2.（易错题）已知角θ的终边上有一点P?3,m，且sinθ

【易错点】忽视对m的分类讨论或讨论不全面.

[解析]由题意可知mm2+3=2m4，解得m=0或m=5或m=?5.当m=0时，

题组2走进教材

3.（人教A版必修①P176?T7改编）已知角2α是第二象限角，则角α

A.一 B.二 C.三 D.一或三

[解析]因为角2α是第二象限角，π2+2kπ2απ+2kπ，k∈Z，即π4+kπα

4.（人教A版必修①P180?T3改编）已知角θ的终边经过点P

[解析]由三角函数的定义可得sinθ

题组3走向高考

5.[2023·北京卷]（双空题）已知命题p：若角α,β为第一象限角，且αβ，则tanαtanβ.能说明p为假命题的一组α,β的值为

[解析]取α=π4+2π,β=π4，则αβ，但tanα=tan

考点一象限角及终边相同的角［自主练透］

1.在下列表达式中，与角9π4的终边相同的角是(

A.2kπ+45°，k∈Z

C.k?360°?315°，

[解析]首先角度制与弧度制不能混用，所以A,B错误；

因为与9π4的终边相同的角可以写成k?360°

2.集合{α|kπ+π

A.

B.

C.

D.

[解析]当k=2nn∈Z时，2nπ+π

当k=2n+1n∈Z时，2nπ+π+π

3.（多选题）下列说法正确的是(AC).

A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α

B.终边落在y轴上的角的集合为{α|α

C.在?720°～0°范围内所有与

D.第三象限角的集合为{α|π+

[解析]终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α=2k

由于角度制和弧度制不能混用，故B错误；

所有与45°角的终边相同的角可以表示为{α|α=45°+k?360°,k∈

第三象限角的集合为{α|π+2kπα3

4.已知角θ的终边在第二象限，且sinθ2=?sinθ2

A.第一象限或第三象限 B.第二象限或第四象限

C.第三象限 D.第四象限

[解析]∵角θ是第二象限角，∴θ∈2k

∴θ2∈kπ+π4

∵sinθ2=?sinθ2，∴sinθ

1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数kk

2.确定kα，αkk∈N?的终边位置的方法：先写出kα或αk的范围，然后根据

考点二弧度制及其应用［师生共研］

典例1[2022·全国甲卷]沈括的《梦溪笔谈