中考数学知识点46 二次函数与特殊图形的存在性问题.docxVIP

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二次函数与特殊图形的存在性问题

【真题再现】

1．（2020年盐城第25题）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．过点A的直线l与x轴交于点C，与该函数的图象交于点B（异于点A）．满足△ACN是等腰直角三角形，记△AMN的面积为S1，△BMN的面积为S2，且S2=52S

（1）抛物线的开口方向上（填“上”或“下”）；

（2）求直线l相应的函数表达式；

（3）求该二次函数的表达式．

【分析】（1）根据题意借助图象即可得到结论；

（2）由点A（0，2）及△CAN是等腰直角三角形，可知C（﹣2，0），N（2，0），由A、C两点坐标可求直线l；

（3）由S2=52S1，可知B点纵坐标为5，代入直线AB解析式可求B点横坐标，将A、B、N三点坐标代入y＝ax2+bx+

【解析】（1）如图，如二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．

∴y＝ax2+bx+2，

令y＝0，则ax2+bx+2＝0，

∵0＜x1＜x2，

∴2a

∴a＞0，

∴抛物线开口向上，

故答案为：上；

（2）①若∠ACN＝90°，则C与O重合，直线l与抛物线交于A点，

因为直线l与该函数的图象交于点B（异于点A），所以不合题意，舍去；

②若∠ANC＝90°，则C在x轴的下方，与题意不符，舍去；

③若∠CAN＝90°，则∠ACN＝∠ANC＝45°，AO＝CO＝NO＝2，

∴C（﹣2，0），N（2，0），

设直线l为y＝kx+b，将A（0，2）C（﹣2，0）代入得b=2?2k+b=0

解得k=1b=2

∴直线l相应的函数表达式为y＝x+2；

（3）过B点作BH⊥x轴于H，

S1=12MN?OA，S

∵S2=52S

∴BH=52

∵OA＝2，

∴BH＝5，

即B点的纵坐标为5，代入y＝x+2中，得x＝3，

∴B（3，5），

将A、B、N三点的坐标代入y＝ax2+bx+c得c=24a+2b+c=0

解得a=2b=?5

∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣5x+2．

2．（2020年徐州第28题）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK．

（1）点E的坐标为：（1，0）；

（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；

（3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由．

【分析】（1）利用对称轴公式求解即可．

（2）连接EC，分两种情形：当∠HEF＝90°时，当∠HFE＝90°，分别求解即可．

（3）求出直线HF，DF的解析式，利用方程组确定点K，G的坐标，再求出直线EH，GK的解析式即可判断．

【解析】（1）对于抛物线y＝﹣ax2+2ax+3a，对称轴x=?2a

∴E（1，0），

故答案为（1，0）．

（2）如图，连接EC．

对于抛物线y＝﹣ax2+2ax+3a，令x＝0，得到y＝3a，

令y＝0，﹣ax2+2ax+3a＝0，解得x＝﹣1或3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3a），

∵C，D关于对称轴对称，

∴D（2，3a），CD＝2，EC＝DE，

当∠HEF＝90°时，

∵ED＝EC，

∴∠ECD＝∠EDC，

∵∠DCF＝90°，

∴∠CFD+∠EDC＝90°，∠ECF+∠ECD＝90°，

∴∠ECF＝∠EFC，

∴EC＝EF＝DE，

∵EA∥DH，

∴FA＝AH，

∴AE=12

∵AE＝2，

∴DH＝4，

∵HE⊥DFEF＝ED，

∴FH＝DH＝4，

在Rt△CFH中，则有42＝22+（6a）2，

解得a=33或

∴a=3

当∠HFE＝90°时，∵OA＝OE，FO⊥AE，

∴FA＝FE，

∴OF＝OA＝OE＝1，

∴3a＝1，

∴a=1

综上所述，满足条件的a的值为33或1

（3）结论：EH∥GK．

理由：由题意A（﹣1，0），F（0，﹣3a），D（2，3a），H（﹣2，3a），E（1，0），

∴直线AF的解析式y＝﹣3ax﹣3a，直线DF的解析式为y＝3ax﹣3a，

由y=?3ax?3ay=?ax2+2ax+3a，解得

∴K（6，﹣21a），

由y=3ax?3ay=?ax2+2ax+3a，解得

∴G（﹣3，﹣12a），

∴直线HE的解析式为y＝﹣ax+a，

直线GK的解析式为y＝﹣ax﹣15a，

∵k相同，a≠﹣15a，

∴HE∥GK．

3．（2020年苏州第25题）如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交