(完整word版)数值分析习题第四章.docVIP

第四章习题

1．确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）

解：（1）求积公式中含有三个待定参数，即，将分别代入求积公式，并令其左右相等，得

解得。

所求公式至少具有2次代数精度。又由于

故具有三次代数精度。

（2）求积公式中含有三个待定系数：，故令公式对准确成立，得，解得

故

因

而

又

所以求积公式只具有三次代数精度。

（3）求积公式中韩两个待定常数，当令公式对准确成立时，得到

此等式不含有待定量，无用，故需令公式对准确成立，即

得

解上述方程组得

或

故有

或

将代入上已确定的求积公式中，

故求积公式具有2次代数精度。

（4）求积公式中只含有一个待定系数，当时，有

故令时，求积公式精确成立，即

解得

故有

将代入上述已确定的求积公式中，有

再另代入求积公式时有

故求积公式具有3次代数精度。

2．分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计算积分，并估计各种方法的误差（要求小数点后至少要保留5位）。

解：运用梯形公式，

其误差

运用Simpson公式，

其误差为

运用Cotes公式，

其误差为

3．推到下列三种矩形求积公式;

解：将出Taylor展开，得

，两边在上积分，得

将处Taylor展开，得

，两边在上积分，得

将处Taylor展开，得

两边在上积分，得

4．用下列方法计算积分，并比较结果。

（1）Romberg方法；

（2）三点及五点Gauss公式；

（3）将积分区间分为四等分，用复化两点Gauss公式。

解：（1）用Romberg算法

计算，计算结果如表4.1

表4.1

k

0

1.333333

1.111111

1.099258

1.098630

1

1.166667

1.099999

1.098640

2

1.116666

1.098725

3

1.10

故

（2）用三点及五点Gauss-Legendre求积公式，需先对求积区间[1，3]作如下变换，令

则当时，，且，

三点Gauss公式

五点Gauss公式

（3）用复化的两点Gauss求积公式计算，需将[1，3]四等分，则

的真值为

5．用三点公式和五点公式求在=1.0，1.1和1.2处的导数值，并估计误差。的值由表4.2给出。

表4.2

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

0.2500

0.2268

0.2066

0.1890

0.1736

解：三点求导公式为

上表中取，分别将有关数值代入上三式，即可得导数的近似值，由于

故可得误差及导数值如表4.3

表4.3

1.0

1.1

1.2

三点公式

-0.24792

-0.21694

-0.18596

-0.25000

-0.21596

-0.18783

理论误差值

0.00250

0.00125

0.00250

实际误差值

0.00208

0.00098

0.00187