25届（新教材QG版）数学精练案基础课30复数.docx

基础课30复数

课时评价·提能

基础巩固练

1.若复数z1，z2在复平面内对应的点分别为1,2，0,?

A.1+i B.2?i C.?2

[解析]由复数的几何意义可知，z1=1+2i，z2

2.已知复数z满足z1?i=3+i

A.1+2i B.?1+2

[解析]∵z1?i=3+i，∴z1?i

3.若复数z=2i+21+i，其中

A.2 B.22 C.3

[解析]∵z

∴z=2.

4.（改编）设i是虚数单位，且i2024=i?k1

A.2 B.0 C.1 D.?

[解析]∵i2024=i?k1?ki，∴

5.若复数a2?3a+2

A.1 B.2 C.1或2 D.?

[解析]因为复数a2?3a+2+

a?1≠0,解得a

6.（改编）若复数z满足z+z=4，1z

A.2±2i B.2+2i

[解析]设z=a+bi，a，b∈R，由z+z=4,可得a+bi+a?bi=4，所以a

7.（改编）在复平面内，已知复数z满足z?1=z+i（i为虚数单位），记z0=2+i对应的点为Z0，

A.22 B.2 C.322

[解析]设z=x+yix,y∈R，∵z?1=z+i，

∵z0=2+i对应的点为Z02,1，∴点Z0

8.给出下面四个类比结论：

①已知实数a,b，若ab=0，则a=0或b=0；类比复数z1,z

②已知实数a,b，若ab=0，则a=0或b=0；类比向量a,b，若

③已知实数a,b，有a2+b2=0，则a=b=

④已知实数a,b，有a2+b2=0，则a=b=

其中类比结论正确的个数是（C）.

A.0 B.1 C.2 D.3

[解析]对于①，若z1z2=0,则z1z2=z1z2=0,所以z1=0或z2=0,则z1=0或z2=0，故①正确；对于②，若向量a,b互相垂直，则a?b=0，故②错误；对于③，取z1

综合提升练

9.（多选题）下列说法正确的是（AD）.

A.若z=2

B.若复数z1，z2满足z

C.若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等

D.“a≠1”是“复数

[解析]若z=2，则z?z=z

设z1=a1+b1ia1,b1∈R，z2=a2+b2i

当z=1?i时，z2=?2i为纯虚数，

若复数z=a?1+a2?1ia∈R是虚数，则a2?1≠0，即a≠±1，所以

10.(多选题)(2024·九省适应性测试)已知复数z,w均不为0,则(BCD).

A.z2=|z|2 B.zz=

C.z-w=z?-w? D.z

[解析]设z=a+bi(a,b∈R),w=c+di(c,d∈R).

对于A,z2=(a+bi)2=a2+2abi-b2=a2-b2+2abi,|z|2=(a2+b2)2=a

对于B,zz=z2z·z,因为z·z=|z|2

对于C,z-w=a+bi-c-di=a-c+(b-d)i,则z-w=a-c-(

z=a-bi,w=c-di,则z-w=a-bi-c+di=a-c-(b-d)i,

即z-w=z-

对于D,zw=a+bic+di=(a+bi

=(

=a

=a

=a2

|z||w

=(

=a2

故zw=|z||

故选BCD.

11.已知集合M?{x|x=in+i

[解析]in的周期为4，当n=1时，x=i+i?1=0；当n=2时，x=i2+i?2=?2；当

12.（双空题）欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数cosθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被称为“数学中的天桥”.若复数z满足eiπ

[解析]由欧拉公式知，eiπ

∴e

∴z=i?1+i=

应用情境练

13.（双空题）设i是虚数单位，已知2i?3是关于x的方程2x2+px+

[解析]把2i?3代入方程得22i?32+p2i?

10?3p+q

14.若复数z满足z+2z为实数，则z+i

[解析]设z=x+yix,y∈R，则z+2z=x+yi+2x+yi=x+2xx2+y2+y?2yx2+y2i，又因为z+

创新拓展练

15.设复数z=1+i1?i（

[解析]由题意得z=1+i1?i=i，

16.已知z为虚数，若ω=z+

（1）求z的实部的取值范围；

（2）设μ=1?

[解析]（1）设z=a+

则ω=

又ω∈R，所以a2+b2?1ba2+b2=0，则a2+

（2）μ=

由（1）得a2+b2=1

所以ω?

又?12a

所以2a+2+21+a≥221

所以ω?

即ω?μ2