25届（新教材QG版）数学精练案基础课28平面向量的基本定理及其坐标表示.docx

基础课28平面向量的基本定理及其坐标表示

课时评价·提能

基础巩固练

1.设e1，e2是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（

A.e1+e2和e1

C.e1+2e2和2

[解析]因为e1，e2是平面内所有向量的一个基底，所以e1，e2不共线，所以e1+e2和e1?e2不共线，e1+2e2和2e1+e2不共线，e1和e1+e2不共线,

2.已知向量AB=1,3,BC=2,

A.5,16 B.7,?16 C.

[解析]因为AB=1,3,BC=2,4,

3.设x，y∈R，向量a=x,2，b=1,y，

A.0 B.1 C.2 D.3

[解析]因为a=x,2，b=1,y，c=?2,2，且a⊥c，b//c，

4.（改编）已知向量a=λ+1,?2，b=

A.10 B.103 C.5 D.

[解析]向量a=λ+1,?2，b=1,3，若a⊥b，则λ+1?

5.（改编）已知向量a=3,4，则与

A.(45,?35) B.(?35,45)

[解析]设与a垂直的单位向量e=x,y，因为a

x2+y2=1，解得e=(45,

6.如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法错误的是（

①a=λ

②对于平面α内任一向量a，使a=λe

③若向量λ1e1+μ

④若存在实数λ，μ使得λe1+

A.①② B.②③ C.③④ D.②

[解析]由平面向量的基本定理可知，①④正确.

对于②，由平面向量的基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故②错误.

对于③，当λ1λ2=0或μ1μ2=0时，说法不一定成立，

7.（改编）已知在△ABC中，D为边AB上一点且满足AD=2DB，若P为线段CD上一点，且满足AP=λAB+μ

A.2 B.94 C.52

[解析]因为P为线段CD上一点，所以AP=xAD+

又因为AP=λAB+μAC，可得λ=

可得16λ

当且仅当μ6λ=3λ2μ，即μ=3λ=23时，等号成立，

8.已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，动点P满足AP=λAB

A.若μ=1，则

B.若λ=1，则

C.若μ=12，则满足PA

D.若λ=13，μ=

[解析]以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则B0,2，D4,0，

因为AP=λAB+

对于A，当μ=1时，P4,2λ，则点P到直线AB的距离为4，则

对于B，当λ=1时，P4μ,2，则DP=4μ?4,2，因为0≤μ≤1，所以

对于C，当μ=12时，P2,2λ，PA=?2,?2λ，PB=?2,2?2λ

对于D，若λ=13，μ=23，则P(83,23)，此时点P到直线AB的距离为

综合提升练

9.（多选题）已知向量a=2,1,

A.a+b⊥b B.向量a

C.a与a?b夹角的余弦值为255 D.若c

[解析]对于A,因为a+b=2,1+?3

对于B,因为acos?a,b?=a?bb=?6+1?32+1

对于C,因为a?b=2,1??3,1=5,

对于D,因为a=2,1,c=(55,?255)，而2×?2

10.（多选题）已知在平行四边形ABCD中，E为边CD的中点，F为边BC上靠近点B的三等分点，连接AF，BE交于点M，连接AC，N为AC上靠近点C的三等分点，记AB=a，AD=

A.M，N，E三点共线

B.若AM=λ

C.BN

D.S△ABM=17

[解析]如图所示,在平行四边形ABCD中，因为N为边AC上靠近点C的三等分点，

所以AN=23

所以EN=AN?AE=1

所以EM//EN，又有公共点E，所以M,N,E三点共线，故A

设MA=cAF，则AE=ME?MA=?m12AB?AD?cAF

BN=AN?AB=?13AB+23AD，因为EM

因为AM=67AF，所以S△ABM=67

11.如图所示，在边长为3的等边△ABC中，AD=23AC，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若BP=

[解析]如图，以O为原点建立平面直角坐标系，

则A?1,0,B(12,332),C2,0，因为

所以点P的轨迹方程为x2+y2=1，且在x轴的下半部分

设Pcosα,sin

则BP=(cosα?12,sin

BA=(?32

因为BP=xBA+yBC，所以(cosα

即(cosα?12,

所以sinα

所以x+y=?239sinα+1，因为α∈[π,2

12.（双空题）如图，在△ABC中，AB=3,BC=4,AC=5，D是BC的中点，AE=13EC,BF?AC=0，AD与BE

[解析]因为AG=λAD，AD=

又B，G，E三点共线，所以EG=xEB，

又AE=13EC，所以AG=xA