25届（新教材QG版）数学精练案基础课21两角和与差的正弦、余弦和正切公式.docx

基础课21两角和与差的正弦、余弦和正切公式

课时评价·提能

基础巩固练

1.cos18°cos42

A.?32 B.32 C.?

[解析]原式=cos18°cos42

2.cos165°=

A.?6+24 B.6+2

[解析]因为cos165°=cos90°+75°=?sin75

3.已知P1,7是角α的终边上一点，则sin

A.?725 B.?2425 C.

[解析]P1,7是角α的终边上一点

sinα=7

所以sinπ?2α=sin2α

4.已知θ∈(π4,π2)，且cos

A.17 B.43 C.7

[解析]因为θ∈(π4,π2)，

又cosθ?π4=4

所以tanθ?11+tanθ=

5.已知sinα+sinβ=35,

A.?12 B.?13 C.

[解析]因为sinα

所以sin2

因为cosα+cosβ=

由①+②，得2+

所以cosα?β=?

6.在△ABC中，若sinAsinB=

A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形

[解析]∵A

∴cosC

∴sinA

∴cosAcosB+sin

又A,B为△ABC的内角，∴

∴A=B，故△ABC为等腰三角形

7.若2sinβsinα?

A.?1 B.1 C.?2

[解析]由题意得2sin

所以2sin

即sinα

即sinα+β+cosα+β=0，

8.若0απ2，0βπ

A.69 B.539 C.6

[解析]由0απ2，0

得sinα=1

所以sinα

故选C.

综合提升练

9.（多选题）已知△ABC不是直角三角形，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则（ACD

A.sinC=sinA

C.tanC=tan

[解析]对于A，因为C=π?A+B，所以sinC=sin

对于B，因为C=π?A+B，所以cosC=cos

对于C，因为C=π?A+B，所以tanC=tan

对于D，因为A=π?B+C

由正弦定理得a=bcosC+ccosB，

10.（多选题）下列式子的运算结果为3的是（ABC）.

A.tan25°+tan

C.1+tan15°

[解析]对于A，tan25

对于B，2sin

对于C，1+tan

对于D，tanπ

故选ABC.

11.已知cosα?π6

[解析]由cosα

可得32

即32

∴3sinα+

∴sinα

12.已知sinπ4?α=?55,sin3π4+β=10

[解析]α∈(π4,3π4),β∈(0,π4)，则?β

于是sinα

不妨记x=π4?α,y=3π4+β，于是sinα?β=sinx+y，而x∈(?π2,

所以sinα?β=sinx+y=sinx

应用情境练

13.（双空题）如图，扇形OPQ的半径为1，圆心角为θ，且tanθ=2，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，当tan∠POC=12

[解析]设∠POC=α

则AD=BC=sinα,

所以AB=cos

所以矩形ABCD的周长为2cos

其中sinφ=25,cosφ=

所以当α+φ=π2时，

此时α=π2

且矩形ABCD周长的最大值为5.

14.如图，在带有坐标系的单位圆O中，设∠AOx=α，∠

（1）利用单位圆、向量知识证明：cosα

（2）若α∈(π2,π)，β∈(0,π2)

[解析]（1）由题意知,OA=OB=1，且OA与OB

所以OA?

又OA=cosα

所以OA?

故cosα

（2）因为α∈(π2,π)且tanα=?5

因为β∈(0,π2)，所以?β∈(?π2,0)，又α∈(π2

所以cosβ

创新拓展练

15.如图1，正方形ABCD的边长为2，M为线段CD的中点.现把正方形按照图2进行折叠，使点A与点M重合，折痕与AD交于点E，与BC交于点F.记∠MEF=θ，则

[解析]设DE=x，则DM=

在Rt△DEM中，∠D=90

即x2+12=2?

所以在Rt△DEM中，sin∠

则sin2θ

又sinθ+cosθ=

16.如图，圆O的半径为22，直线AN与圆相切，点M在线段AN上，AM=2MN，且MN=22，圆O上的点P从点A处逆时针转动到最高点B处，记∠AOP

（1）当θ=2π

（2）试确定θ的值，使得△AOP的面积等于△

[解析]（1）过点P作PQ⊥AN交AN于点Q，

因为圆O的半径为22

所以PQ=

又AM=2MN，且MN=2

所以四边形OANP的面积S=

（2）设△AOP的面积为S1，△APM的面积为S2

因为S1=1

所以81?cosθ=8sinθ

因为θ∈0,π，所以θ+π4∈(π4

所以当θ=π2时，△