第九章　第八节　圆锥曲线中的定点问题.docx

PAGE

温馨提示：

此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。

第八节圆锥曲线中的定点问题

【核心考点·分类突破】

角度1椭圆中的直线过定点问题

[例1](2024·郑州模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为2,圆x2+

(1)求椭圆C的标准方程;

【解析】(1)设椭圆C的半焦距为c.当圆x2+y2=4在椭圆C的内部时,b=2,c=1,a2=b2+c2=5,椭圆C的方程为x25+y

当圆x2+y2=4在椭圆C的外部时,a=2,c=1,b2=a2-c2=3,

椭圆C的方程为x24+y

(2)已知结论:若点(x0,y0)为椭圆x2a2+y2b2=1上一点,则椭圆在该点处的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.若椭圆C

【解析】(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).

因为椭圆C的短轴长小于4,所以C的方程为x24+y23=1.则由已知可得,切线AT的方程为x1x4+y

将T(8,t)代入AT,BT的方程整理可得,

6x1+ty1-3=0,6x2+ty2-3=0.

显然A,B的坐标都满足方程6x+ty-3=0,

故直线AB的方程为6x+ty-3=0,

令y=0,可得x=12,即直线AB过定点(12

角度2双曲线中的直线过定点问题(规范答题)

[例2](12分)(2023·新高考II卷)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-25,0),离心率为5.

(1)求C的方程;

规范答题微敲点·水到渠成

【解析】(1)设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),由焦点坐标为(-25,0)可知c=25,由e=ca=

关键点由焦点坐标及离心率可求出c和a.

所以双曲线C的方程为x24-y216

(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于P,证明:P在定直线上.

规范答题微敲点·水到渠成

【解析】(2)解法1(以直线MA1,NA2的斜率为参数):

设M(x1,y1),N(x2,y2),

直线MA1:y=m(x+2),

直线NA2:y=n(x-2),

由y

得(4-m2)x2-4m2x-(4m2+16)=0.

因为-2x1=4m

所以x1=2m2+84-m2,

由y

得(4-n2)x2+4n2x-(4n2+16)=0.

因为2x2=4n

所以x2=2n2+8n2-4,

由题设知x1+4y

扫清障碍利用直线MN的斜率建立关系式,起到承上启下的作用,为后续解题起到桥梁和纽带作用.

所以(mn-4)(m+3n)=0,由题意知mn0,

故m=-3n. …………………10分

点P(x,y)满足y=m(x+2)且满足y=n(x-2),

所以x=-1.

故P在定直线x=-1上. …………………12分

解法2(以直线MN的斜率为参数):

设M(x1,y1),N(x2,y2),

(i)当MN的斜率存在时,

设直线MN:y=k(x+4)(|k|≠2),

由y

得(4-k2)x2-8k2x-(16k2+16)=0.

由于x1+x2=8k24-k2,x1x

直线MA1:y=y1x1

直线NA2:y=y2x2

联立方程得,x=2(y1

扫清障碍此处如果直接求解运算量会很大,可以对照分式的特征,采用分子+分母,再进行运算,求出和值,即可求出比值.

因为2(y1x2+y2x1-2y1+2y2)

+(-y1x2+y2x1+2y1+2y2)

=4kx1x2+10kx2+10kx1+16k

=2k(2x1x2+5x2+5x1+8)

=2k[2×16(k2+1

=2k[-8(k2-4

所以x=-1.

(ii)当MN的斜率不存在时,

避误区解决直线与圆锥曲线综合问题时,注意分直线斜率存在和不存在两种情况进行说明,避免造成不必要的失分.

直线MN:x=-4,M(-4,43),N(-4,-43).

直线MA1:y=-23(x+2),

直线NA2:y=233(

联立方程得P(-1,-23),

此时点P在定直线x=-1上.

综上,P在定直线x=-1上.……………12分

解法3:设M(x1,y1),N(x2,y2),

显然,直线MN的斜率不为0,

所以设直线MN的方程为x=my-4,

关键点避免对直线MN斜率是否存在进行讨论.

则x1=my1-4,x2=my2-4.

联立得x=

得(4m2-1)y2-32my+48=0.……………………5分

因为直线MN与双曲线C的左支交于M,N两点,所以4m2-1≠0,且Δ0.

由根与系数的关系得y1

所以y1+y2=2m3y1y2.

因为A1,A2