第八章　第三节　空间直线、平面的平行.docx

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第三节空间直线、平面的平行

【课标解读】

【命题说明】

【课程标准】

1.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系的定义,归纳出有关平行的性质定理和判定定理,并加以证明.

2.能运用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.

【核心素养】

直观想象、逻辑推理.

考向

考法

高考命题常以空间几何体为载体,考查直线、平面平行的判断和证明.线面平行的证明是高考的热点.常以解答题的形式出现.

预测

2025年高考这一部分知识仍会考查,以解答题第(1)问的形式出现,难度中档.

【必备知识·逐点夯实】

知识梳理·归纳

1.直线与平面平行

(1)直线与平面平行的定义

直线l与平面α没有公共点,则称直线l与平面α平行.

(2)判定定理与性质定理

项目

文字语言

图形表示

符号表示

判定定理

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行

a?α,b?α,

a∥b?a∥α

性质定理

一条直线和一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行

a∥α,a?β,

α∩β=b?a∥b

2.平面与平面平行

(1)平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫做平行平面.

(2)判定定理与性质定理

项目

文字语言

图形表示

符号表示

判定定理

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行

a?β,b?β,a∩b=P,

a∥α,b∥α?α∥β

性质

两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行于另一个平面

α∥β,a?α?a∥β

性质定理

两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行

α∥β,α∩γ=a,

β∩γ=b?a∥b

微点拨

三种平行关系的转化

常用结论

1.平行关系中的三个重要结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.

(2)平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.

2.平行关系有关的性质

(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.

(2)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.

(3)同一条直线与两个平行平面所成的角相等.

基础诊断·自测

类型

辨析

改编

易错

题号

1

2,4

3

1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)若一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.(×)

(2)若直线a∥平面α,P∈α,则过点P且平行于直线a的直线有无数条.(×)

(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(×)

(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(√)

提示:(1)若一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行或在平面内,故(1)错误.

(2)若a∥α,P∈α,则过点P且平行于a的直线只有一条,故(2)错误.

(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行或相交,故(3)错误.

2.(必修二P138例3变形式)已知直线l和平面α,若l∥α,P∈α,则过点P且平行于l的直线()

A.只有一条,不在平面α内

B.只有一条,且在平面α内

C.有无数条,一定在平面α内

D.有无数条,不一定在平面α内

【解析】选B.过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条,因为点P在平面α内,所以这条直线也应该在平面α内.

3.(易忽略“a?α”而致误)两条直线a,b满足a∥b,b?α,则a与平面α的位置关系一定是()

A.a∥α B.a?α

C.a与α相交 D.a与α不相交

【解析】选D.由于b?α且a∥b,则a∥α或a?α.故a与α不相交.

4.(必修二P137例2变形式)如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置关系是()

A.异面 B.平行

C.相交 D.以上均有可能

【解析】选B.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,因为AB?平面ABC,A1B1?平面ABC,

所以A1B1∥平面ABC,因为过A1B1的平面与平面ABC交于DE,所以DE∥A1B1,所以DE∥AB.

【核心考点·分类突破】

考点一直线与平面平行

考情提示

直线与平面平行作为空间平行关系的载体

因其全面考查直线与平面平行的判定、性质定理而成为高考的热点,涉及空间平行关系的判断、证明以及在实际问题中的应用.

角度1直线与平面平行的判定

[例1]如图所示的四棱锥P-ABCD中,底面