第八章　第八节　利用空间向量研究夹角问题.pdf

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第八节利用空间向量研究夹角问题

【课标解读】

【课程标准】

能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面

的距离问题和简单夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在

研究几何问题中的作用.

【核心素养】

直观想象、数学运算、逻辑推理.

【命题说明】

考向高考题常以求线面角、二面角为载体,考查空间向量的应用.与

考法二面角相关的问题是高考的热点,主要出现在解答题中.

2025年高考本节内容仍会与立体几何知识结合考查,试题难度

预测

中档.

【必备知识·逐点夯实】

知识梳理·归纳

1.异面直线所成角

设a,b分别是两异面直线l,l的方向向量,则

12

项目a与b的夹角βl与l所成的角θ

12

π

范围(0,π)(0,]

2

·|·|

求法cosβ=cosθ=|cosβ|=

||||||||

微点拨异面直线方向向量夹角的余弦值可能为负值,异面直线所成角的余弦值

一定为非负值.

2.直线与平面所成的角

π

(1)范围:[0,];

2

(2)向量求法:设直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,直线AB与平面α

所成的角为θ,则sinθ=|cosu,n|=|·|.

||||

微点拨不平行于平面的直线与平面所成的角为锐角或直角,其正弦值等于直线

的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值.

3.平面与平面的夹角

(1)定义:平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于

90°的二面角称为平面α与平面β的夹角;

(2)求法:设n,n分别是两平面α,β的法向量,α,β的夹角为θ,则cosθ=

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|1·2|

|cosn,n|=.

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