备战2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)课时作业三十五　复数.docx

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三十五复数

(时间:45分钟分值:85分)

【基础落实练】

1.(5分)已知复数1+i(2-a-ai)为纯虚数,则实数a的值为()

A.-1 B.0 C.1 D.2

【解析】选A.因为1+i(2-a-ai)=(1+a)+(2-a)i为纯虚数,所以1+a=02-

2.(5分)(2022·浙江高考)已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则()

A.a=1,b=-3 B.a=-1,b=3

C.a=-1,b=-3 D.a=1,b=3

【解析】选B.a+3i=(b+i)i=-1+bi,所以a=-1,b=3.

3.(5分)(2023·嘉兴模拟)已知(1+i)z=2+4i,则|z|=()

A.10 B.2 C.10 D.4

【解析】选C.z=2+4i1+i=(2+4i)(1-i)

4.(5分)(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于()

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【解析】选A.(1+3i)(3-i)=6+8i,故对应的点在第一象限.

5.(5分)若复数z满足z(1+i)=2+3i,则z的虚部是()

A.12 B.12i C.1

【解析】选A.z=2+3i1+i=(2+3i)(1-i)(1+i

6.(5分)(多选题)(2023·荆州模拟)下面关于复数结论正确的是()

A.若z(2-i)=i23,则z的实部为1

B.若复数z满足1z∈R,则z∈

C.对任意复数z恒有z·z=|z

D.若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=z

【解析】选ABC.对于A,若z(2-i)=i23,z=i232-i=-i(2+i

则z的实部为15

对于B,设z=a+bi(a,b∈R),若复数z满足

1z=a-bi(a+b

则-ba2+b2=0,可得b

对于C,设z=a+bi(a,b∈R),

则z·z=(a+bi)(a-bi)=a2+b2,|z|2=a2+

所以对任意复数z恒有z·z=|z

对于D,设z1=-1+i,z2=2+2i,

若z1z2=(-1+i)(2+2i)=-4∈R,但z1≠z2,故D错误

7.(5分)设O是坐标原点,向量OA,OB对应的复数分别为2-3i,-3+2i.那么向量BA对应的复数是.?

【解析】因为向量OA,OB对应的复数分别为2-3i,-3+2i,

所以OA=(2,-3),OB=(-3,2),

所以BA=OA-OB=(5,-5),其对应的复数是5-5i.

答案:5-5i

8.(5分)已知i为虚数单位,若复数z=1-ai1+i(a∈R)的实部为-3,则|z|=,复数z的共轭复数

【解析】因为z=1-ai1+i=

所以1-a2=-3,解得a=7,所以z=-3-4i,故|z|=(-3

答案:5-3+4i

9.(5分)(2023·保定模拟)已知复数z满足|z-1+i|=22,z为z的共轭复数,则z·z的最大值为.?

【解析】设z=a+bi(a,b∈R),

则|z-1+i|=22的几何意义为z在复平面内所对应的点(a,b)到(1,-1)的距离为22,

所以z所对应的点(a,b)的轨迹是以A(1,-1)为圆心,22为半径的圆,

而z·z=a2+b2可看作该圆上的点(a,b)到原点的距离的平方,所以(z·z)

答案:18

10.(10分)如图所示,在平行四边形OABC中,顶点O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i,试求:

(1)AO,BC所表示的复数;

【解析】(1)因为AO=-OA,所以AO所表示的复数为-3-2i,因为BC=AO,所以BC所表示的复数为-3-2i.

(2)CA所表示的复数;

【解析】(2)因为CA=OA-OC,

所以CA所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.

(3)点B对应的复数.

【解析】(3)OB=OA+OC,所以OB所表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,

所以点B对应的复数为1+6i.

11.(10分)(2023·朔州模拟)在复平面内,复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i.分别求出满足下列条件的复数z.

(1)在虚轴上;

【解析】(1)若复数z对应的点在虚轴上,则m2-m-2=0,即m=-1或m=2.此时z=6i或z=0;

(2)在实轴负半轴上;

【解析】(2)若复数z对应的点在实轴负半轴上,

则m2-m-20

(3)在直线y=x上.

【解析】(3)若复数z对应的点在直线y=x上,

则m2-m-2=m2-3m+2,得m=2,即复数z=0.

【能力提升练】

12.(5分)(2023·长沙模拟)已知复数z=a+