4.3用一元一次方程解决问题-2022-2023学年七年级数学上册精品讲义苏科版原卷版.docxVIP

用一元一次方程解决问题

知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

1. 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量；

2. 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量；

①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么；

②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数；

③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数.

3. 列：根据题中相等关系，列出一元一次方程；

4. 解：解所列出的一元一次方程；

5. 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）；

6. 答：写出答案，包括单位.

例：用一根长为10米的铁丝围成一个长方形，若该长方形的长比宽多2米，长方形的长、宽各位多少？

【解答】长是3.5米，宽是1.5米

【解析】设长方形的宽为x米，则长为（x＋2）米.

由题意可列出方程，

解得，则，

答：这个长方形的长是3.5米，宽是1.5米.

知识点二、常见列方程解决问题的几种类型

1. 和、差、倍、分问题

（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，

现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．

（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．

2．行程问题

（1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间

（2）基本类型有：

①相遇问题（或相向问题）：

Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间

Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．

②追及问题：

Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间

Ⅱ．寻找相等关系：

第一、同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；

第二、同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．

③航行问题：

Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，

逆流速度=静水速度－水流速度，

顺水速度－逆水速度＝2×水速；

Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．

（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．

3．工程问题

如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：

（1）总工作量=工作效率×工作时间；

（2）总工作量=各单位工作量之和．

4．调配问题

寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．

5．利润问题

（1）

（2）标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)

（3）实际售价＝标价×打折率

（4）利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率

注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损，打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．

6．存贷款问题

（1）利息=本金×利率×期数

（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)

（3）实得利息=利息-利息税

（4）利息税=利息×利息税率

（5）年利率＝月利率×12

（6）月利率＝年利率×

7. 数字问题

已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．

8．方案问题

选择设计方案的一般步骤：

（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．

（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．

例：某牛奶加工厂有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元，该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该厂某领导提出了两种可行方案：

方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；

方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．

你认为选择哪种方案获利最多，为什么?

【解答】见解析

【解析】（1）若选择方案1，依题意，

总利润=2000元×4+500元×(9-4)=10500元．

（2）若选择方案2．

设将x吨鲜奶制成奶片，则用(9-x)吨鲜奶制成酸奶销售，

依题意得，

解得．

当时，．

总利润=2000元×1.5+1200元×7.5=12000元．

∵1200010500，

∴选择方案2较好．

答：选择方案2获利最多，只要在四天内用7.5吨鲜奶加工成酸奶，用1.5吨的鲜奶加工成奶片．

巩固练习

一．选择题

1．用含盐16%的甲种盐水和含盐25%的乙种