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二十九平面向量的基本定理及坐标表示
(时间:45分钟分值:85分)
【基础落实练】
1.(5分)已知向量a=(1,m),b=(2,-3),且a∥b,则m=()
A.-32 B.23 C.-12
【解析】选A.根据题意,a=(1,m),b=(2,-3),
若a∥b,则有2×m=1×(-3),解得m=-32
2.(5分)如图所示,在正六边形ABCDEF中,BA+CD+EF=()
A.0 B.BE C.AD D.CF
【解析】选D.由于BA=DE,因此BA+CD+EF=CD+DE+EF=CF.
3.(5分)(多选题)(2023·哈尔滨模拟)下列两个向量,能作为基底向量的是()
A.e1=(0,0),e2=(3,2)
B.e1=(2,-1),e2=(1,2)
C.e1=(-1,-2),e2=(4,8)
D.e1=(2,1),e2=(3,4)
【解析】选BD.A选项,零向量和任意向量平行,所以e1,e2不能作为基底.
B选项,因为21≠-12,所以e1,e
C选项,e1=-14e2,所以e1,e2平行,不能作为基底
D选项,因为23≠14,则e1,e2
4.(5分)如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则OP+OQ=()
A.OH B.OG C.EO D.FO
【解析】选D.在方格纸上作出OP+OQ,如图所示,
连接FO,则容易看出OP+OQ=FO.
5.(5分)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若CA=λCE+μDB(λ,μ∈R),则λ+μ的值为()
A.65 B.85 C.2
【解析】选B.建立如图所示的平面直角坐标系,
则D(0,0).不妨设AB=1,则CD=AD=2,
所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),
所以CA=(-2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2),
因为CA=λCE+μDB,
所以(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),
所以-
解得λ=65,μ=2
6.(5分)(多选题)(2023·漳州模拟)如图,在四边形ABCD中,AB=3DC,点M满足CM=2MD,N是BC的中点.设AB=a,AD=b,则下列等式正确的是()
A.BD=a-b B.AC=13a+
C.BM=-89a+b D.AN=23a+
【解析】选BC.
对于A,BD=AD-AB=b-a,A错误;
对于B,AC=AD+DC=b+13AB=13a
对于C,BM=AM-AB=AD+DM-AB=AD+13DC-AB=AD+19AB-AB=-8
对于D,由B知:AN=12(AB+AC)=12(a+13a+b)=23a+
7.(5分)已知O为坐标原点,点C是线段AB上一点,且A(1,1),C(2,3),|BC|=2|AC|,则向量OB的坐标是.?
【解析】由点C是线段AB上一点,|BC|=2|AC|,得BC=-2AC.设点B(x,y),则(2-x,3-y)=-2(1,2),即2-x=-2,
答案:(4,7)
8.(5分)已知O为坐标原点,P1P=-2PP2,若P1(1,2),P2(2,-1),则与
【解析】由P1P=-2PP2得P1P+2PP2=0,即P1
OP2-OP1=
OP=2OP2-
OP=32
与OP同向的单位向量为OPOP=(35,-45),反向的单位向量为(-35
答案:(35,-45)和(-35
9.(5分)(2023·九江模拟)如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E在边AC上,且满足3AE=AC,BE交AD于点F,设BF=λAB+μAC(λ,μ∈R),则λ+μ=;
AFAD=
【解题指南】根据向量共线定理表示出AD,AF,从而求出λ,μ,即可求解出λ+μ,AFAD
【解析】设AF=mAD,BF=nBE,
根据向量共线定理,得AF=mAD,
AF=nAE+(1-n)AB,3AE=AC,
所以AF=n3AC+(1-n)
又因为AD=12(AB+AC
所以n3AC+(1-n)AB=m2(AB
得n3=m
代入BF=nBE=n(AE-AB)=34(13AC-AB)=14AC-34AB
则有λ+μ=-12,AFAD=
答案:-12
10.(10分)(2023·泰安模拟)如图,在△ABC中,AM=13AB,BN=12BC.设AB=a,
(1)用a,b表示BC,MN;
【解析】(1)依题意,BC=AC-AB=b-a,
MN=BN-BM=12BC+23AB=12(b-a)+2a3
(2)若P为△ABC内部一点,且AP=512a+14b.求证:M,P,N三
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