常微分方程试题库..doc

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常微分方程

一、填空题

1．微分方程的阶数是____________

答：1

2．若和在矩形区域内是的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程有只与有关的积分因子的充要条件是_________________________

答：

3．_________________________________________称为齐次方程.

答：形如的方程

4．如果___________________________________________,则存在唯一的解,定义于区间上,连续且满足初始条件,其中

_______________________.

答：在上连续且关于满足利普希兹条件

5．对于任意的,(为某一矩形区域),若存在常数使______________________,则称在上关于满足利普希兹条件.

答：

6．方程定义在矩形区域:上,则经过点的解的存在区间是___________________

答：

7．若是齐次线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足一阶线性方程___________________________________

答：

8．若为齐次线性方程的一个基本解组，为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________

答：

9．若为毕卡逼近序列的极限，则有__________________

答：

10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解，则经过变换___________________，可化为伯努利方程．

答：形如的方程

11．一个不可延展解的存在区间一定是区间．

答：开

12．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．

答：，（或不含x轴的上半平面）

13．方程的所有常数解是．

答：

14．函数组在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零．

答：充分

15．二阶线性齐次微分方程的两个解为方程的基本解组充分必要条件是．

答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）

16．方程的基本解组是．

答：

3．讨论方程，的解的存在区间

解：

两边积分

所以方程的通解为

故过的解为

通过点的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到２，

所以解的存在区间为

4．求方程的奇解

解:利用判别曲线得

消去得即

所以方程的通解为,所以是方程的奇解

5．

解:=,=,=,所以方程是恰当方程.

得

所以

故原方程的解为

6．

解:故方程为黎卡提方程.它的一个特解为

,令,则方程可化为,

即,故

7．

解:两边同除以得

所以,另外也是方程的解

8．

解当时，分离变量得

等式两端积分得

即通解为

9.

解齐次方程的通解为

令非齐次方程的特解为

代入原方程，确定出

原方程的通解为

+

10.

解方程两端同乘以，得

令，则，代入上式，得

通解为

原方程通解为

11．

解因为，所以原方程是全微分方程．

取，原方程的通积分为

即

12．

解：当，时，分离变量取不