25届（新教材QG版）数学新考案磨尖课06利用圆的参数方程解决最值问题.docx

尖课06利用圆的参数方程解决最值问题

1.圆的方程有标准方程、一般方程、参数方程，一般我们把方程x=x0+r

2.由圆的参数方程我们可以把圆心为x0,y0,半径为r的圆上的点设为x0

3.利用圆的参数方程设点的参数,一方面可减少参数的个数,另一方面可以借助三角恒等变换来解决问题，从代数的观点来看,这种做法的实质就是三角代换，同时圆的参数方程也是解决某些代数问题的一个重要工具.

磨尖点一利用圆的参数方程求代数式的最值

典例1[2024·青岛模拟]已知点Px,y在圆C：x

A.4 B.10 C.6?22

[解析]由圆C：x2+y2?6x?6y+14=0，得x?32+y

先把圆的一般方程化为标准方程，再转化为参数方程，利用参数方程把待求式化为关于参数θ的函数，利用三角函数的有界性求得最值，求解十分方便，这正是参数方程的优势.

1.若x，y是非负实数，且x2+y2=

A.10 B.23 C.32

[解析]∵x，y是非负实数，x

∴可设x=6cos

则2x+y=26cosθ+6

2.[2024·襄阳模拟]已知实数x，y满足x2+y2=

A.?1?2 B.?1+2

[解析]∵实数x，y满足x2

设x=cosθ，y=sin

∴2xy

令t=sin

则t2=1

∴2xy

∴2xyx+y+

磨尖点二利用圆的参数方程求范围

典例2已知抛物线y=x2+t与圆x

[解析]把圆的方程化为参数方程可得x=cosα，y=sinα，α∈[

当sinα=?12时，

当sinα=1

故实数t的取值范围是[?5

利用圆的参数方程,采用代入法把求实数t的取值范围问题转化为求三角函数的值域问题,使问题迅速获解,可谓转化巧妙.

8.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．

(Ⅰ)求证：平面AEC⊥平面PCD．

【答案】

(Ⅰ)证明：取AD中点为O，BC中点为F，

由侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，

得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，

又FO⊥AD，则FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE，

又CD?FO，则CD⊥AE，

又E是PD中点，则AE⊥PD，

由线面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，

又AE?平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；

5也可联系

Px0,y0，不等式m

[解析]根据题意，曲线x=?1+

则x+y=?1

若Px0,

因为不等式m≥x0+y0恒成立，所以

2.已知Px,y是圆x2+y2

[解析]把圆的方程化为参数方程可得x=cosθ,

若x+y+

即a≥?

所以a≥?2?1，即实数

磨尖点三利用圆的参数方程求距离等最值

典例3[2024·上海模拟]已知动圆x?a2+y

[解析]由题可知原点在圆上，所以a2

圆心到直线的距离d=

令a=cosθ，

则d=

当cosθ+π

所以动圆上的点到直线x?y+

在求解多元坐标的几何或代数的最值时，可对参数进行转化，化为求三角函数的最值来处理.

1.在平面直角坐标系中，圆C1的方程为x2+y+22=4，直线方程为x+y

[解析]圆C1的参数方程为x=2

所以可设P2

所以点P到直线x+y

d=2cosα+2sin

2.已知直线l：x+y?1=0与圆x2+y2=

[解析]联立直线与圆的方程可得x+y?1=0,x2

设点Pcosθ,sin

则点P到直线l的距离d=cosθ+sinθ?1

故△PAB的面积的最大值为