25届（新教材QG版）数学精练案基础课39空间直线、平面的垂直.docx

8.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．

(Ⅰ)求证：平面AEC⊥平面PCD．

【答案】

(Ⅰ)证明：取AD中点为O，BC中点为F，

由侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，

得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，

又FO⊥AD，则FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE，

又CD?FO，则CD⊥AE，

又E是PD中点，则AE⊥PD，

由线面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，

又AE?平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；

基础课39空间直线、平面的垂直

课时评价·提能

基础巩固练

1.下面四个说法：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；③垂直于同一平面的两条直线互相平行；④经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直.其中正确的说法个数是（C）.

A.1 B.2 C.3 D.4

[解析]如果一条直线与一个平面内的无数条平行线垂直，那么这条直线可能在平面内，可能与平面平行，也可能与平面斜交，故①错误；由线面垂直的性质可知，过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直，故②正确；由线面垂直的性质可知，垂直于同一平面的两条直线互相平行，故③正确；由面面垂直的判定定理可知，经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直，故④正确.故选C.

2.已知m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n⊥α成立的是（

A.α⊥β，n?β B.α//β，n⊥β C.

[解析]由α⊥β，n?β，不能说明n与α的关系，A错误；由α//β，n⊥β能够推出n⊥α，B正确；由α⊥β，n//β可以得到n与平面α平行、相交或在平面α内，C错误；m//α，

3.如图，在三棱锥D?ABC中，若AB=CB,AD=CD，

A.平面ABC⊥平面

B.平面ABC⊥平面

C.平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥

D.平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥

[解析]对于C，因为AB=CB,AD=CD，E是AC的中点，所以DE⊥AC,BE⊥AC，因为DE∩BE=E，DE?平面BDE,BE?平面BDE，所以AC⊥平面BDE，因为AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE，同理，平面ACD⊥平面BDE，C正确；对于A，B，由于平面ABC⊥平面BDE，而平面BDE∩平面ABD=BD，故平面ABC与平面ABD不垂直，同理可得，平面ABC与平面BCD不垂直，

4.[2024·济南摸底]若P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥BC，PB⊥AC，则点P在△ABC所在平面内的射影

A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心

[解析]如图所示，因为PA⊥BC,PO⊥BC，且PA∩PO=P

所以BC⊥平面PAO，所以BC

同理，OB⊥AC，所以O是△ABC的垂心.

5.（改编）阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写的正确结论是（C）.

如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是线段PC上的任意一点，求证：平面PAC

证明：因为PO⊥底面ABCD，所以PO

又因为AC⊥BD，且AC∩

又因为BD?平面BDE，所以平面PAC⊥平面

A.BD⊥平面PBC B.AC⊥平面PBD C.BD⊥平面PAC D.

[解析]因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD.又因为AC⊥BD，且AC∩PO=O，AC?平面PAC,PO?平面PAC，所以BD⊥平面PAC.又因为BD?

6.如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，若AB

A.45° B.60° C.30°

[解析]如图，取BC的中点D，连接AD，B1

∵AD⊥BC且AD⊥BB1，BC∩BB1

∴AD⊥平面

∴∠AB1D为AB1

设AB=2，则AA1=

∴sin∠AB1

即AB1与平面BB1C1C

7.（改编）如图，已知正方体ABCD?A1B1C1D1，M

A.直线A1D与直线D1B

B.直线A1D与直线D1B

C.直线A1D与直线D1B

D.直线A1D与直线D1B

[解析]如图，连接AD1，易知A1D与AD1互相平分，即M是AD1的中点，又N是D1B的中点，所以MN//AB，而MN?平面ABCD，AB?平面ABCD，故MN//平面ABCD，又四边形ADD1A1是正方形

8.(2024·九省适应性测试)设α,β是两个平面,m,l是两条直线,则下列命题为真命题的是(C).

A.若α⊥β,m∥α,l∥β,则m⊥l

B.若m?α,l?β,m∥l,则α∥β

C.若α∩β=m,l∥α,l∥β,