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基础课24函数y=Asin
课时评价·提能
基础巩固练
1.函数y=2sin
A.2,1π,π4 B.2,12π,π4 C.2,1π,
[解析]由振幅、频率和初相的定义可知,函数y=2sin2x+π4的振幅为2,频率为1
2.下列直线是函数fx=7
A.x=π3 B.x=2π
[解析]令x?π6=kπ+π2,k∈Z,则fx的图象的对称轴为直线x=kπ+
3.要得到y=cosx2+π
A.向左平移π3个单位长度 B.向右平移π
C.向左平移4π3个单位长度 D.向右平移
[解析]将y=sinx2=cosx2?π2的图象向左平移4π3
4.(改编)若函数fx=asin2x+cos2x
A.3 B.0 C.?3 D.
[解析]由于函数fx=asin2x+cos2x的图象关于直线x=π6对称,所以fπ6=a2+
5.(改编)已知函数fx=Asinωx
A.fx=2
C.fx=2
[解析]由题图可知,函数图象上两个相邻的最值点分别为最高点(?π2,2),最低点(
所以函数的最大值为2,即A=
由图象可得直线x=?π2,
所以函数的最小正周期T=
所以2πω=4
所以fx
把点(?π2,2)
即sinφ?π4
解得φ=
又0φπ,
所以fx=2sin
6.已知函数fx=Acosωx+φA0,
A.?3 B.?1 C.1
[解析]函数fx的图象的对称轴方程为x=kπ4+5π12,k∈Z,两相邻对称轴之间的距离是最小正周期的一半,当k=
所以2πω×1
由题图可知4×π24+φ=2kπ+π2,k∈Z
由题图可知Acosπ3=
所以fx=2cos4x+π
7.[2024·郑州模拟]已知函数fx=Asinωx+φ
A.φ
B.fx的图象关于点(2π
C.若fx在(?7π24,a)上存在最大值,则实数
D.fx的图象关于直线x
[解析]由题图知,fx的最小正周期T=43×[7π12??π6]=π,则ω=
即φ=π3+kπ(k∈Z)
将点(7π12,?2)代入得Asin7π6+π3=?2,得A=2,所以fx=2sin
当x=π6时,fπ6=2sin2×π6
易得fx在(?7π24,π12)上单调递增,且fπ12=2sin2
即实数a的取值范围为(π12,+∞),C正确.故选
8.已知函数fx=sinωx+π6恒有fx≤fπ,且
A.13 B.53 C.73 D.
[解析]因为函数fx=sinωx+
所以ωπ+π6=π2+2k
又fx在[?π6,π6]
且12T=π
结合ω=13+2k,k∈Z
当ω=13时,由?π2+2kπ≤13x+π6≤π2+
当ω=73时,由?π2+2kπ≤73x+π6≤π2+2kπ,k
综合提升练
9.(多选题)(2024·九省适应性测试)已知函数f(x)=sin2x+3π4+cos2x+3π4,则(AC).
A.函数fx-π4为偶函数
B.曲线y=f(x)的对称轴为直线x=kπ,k∈Z
C.f(x)在区间π3,π2上单调递增
D.f(x)的最小值为-2
[解析]f(x)=sin2x+3π4+cos2x+3π4
=sin2xcos3π4+cos2xsin3π4+cos2xcos3π4-sin2
=-22sin2x+22cos2x-22cos2x-22sin2x=-
即f(x)=-2sin2x.
对于A,fx-π4=-2sin2x-π2=2cos2x,易知fx-π4为偶函数,故A正确;
对于B,函数f(x)=-2sin2x图象的对称轴为直线2x=π2+kπ,k∈Z,即x=π4+kπ2
对于C,x∈π3,π2,2x∈2π3,π,y=sin2x单调递减,则f(x)=-2sin2x单调递增,故C正确;
对于D,f(x)=-2sin2x,由sin2x∈[-1,1],得f(x)∈[-2,2],故D错误.
故选AC.
10.(多选题)已知函数fx=3sinωx+φω0,0
A.fx的最小正周期为
B.fx的图象关于点(5π
C.fx在[0,π2]
D.方程fx
[解析]由题意,直线x=?2π3,x=π3为fx图象的两条相邻对称轴,且当x=?2π3时
所以最小正周期T=2×[π3??
又当x=π3时,fx取得最大值,所以1
又0φπ,所以φ=
对于A,fx的最小正周期T=2π,故
对于B,令x+π6=kπ(k∈Z),解得x=kπ?π6(k∈Z),
对于C,当0≤x≤π2时,x+π6∈[π6,2π3],所以
对于D,fx=3sinx+π6的图象和直线y=
注意到127π3+π6=5π43,所以二者图象只有3个交点
11.已知函数fx=2sin
[解析]由T2=5π12??π12=π2知,T=π
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