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分课时教学设计
第一课时《2.2.3命题的证明》教学设计
课型
新授课√复习课口试卷讲评课口其他课口
教学内容分析
本节课内容全面、系统、深入地阐述了命题、定理、证明等核心概念及其相互关系。通过这一章节的学习,学生不仅能够掌握证明命题的基本技能和方法,还能够培养逻辑推理能力和严谨的数学思维。通过这一节的学习,学生将掌握证明命题的基本技能,培养逻辑推理能力和严谨的数学思维。
学习者分析
在此之前,学生具备一定的数学基础知识,如命题、定理、公理等基本概念,以及基本的逻辑推理能力。然而,由于学生的个体差异,部分学生可能对这些前置知识的掌握不够牢固,这会影响他们对新知识的理解和应用。因此在教学中要引导学生养成良好的学习习惯,如认真审题、仔细计算、及时复习等。同时,教师应关注学生的个体差异,针对不同学生的学习特点和需求提供个性化的辅导和帮助。
教学目标
1.了解证明的基本步骤,包括明确命题、分析条件、推导结论等。
2.掌握直接证明法和反证法等常用的证明方法,并能根据题目要求选择合适的证明方法进行解题。
3.通过分析和讨论不同的证明方法,学生能够理解逻辑推理的多样性和灵活性。
4.强调证明的必要性和重要性,使学生认识到数学证明在科学研究中的价值。
5.鼓励学生积极参与课堂讨论和活动,增强他们的学习动力和自信心。
教学重点
握证明命题的基本步骤和方法,如直接证明法和反证法等。
教学难点
随着学习的深入,学生需要面对更加复杂、抽象的命题证明,这对他们的思维能力和解题技巧提出了更高的要求。
学习活动设计
教师活动
学生活动
环节一:新知导入
教师活动1:
成语故事——自相矛盾
楚国有个卖盾和卖矛的人,夸耀他的盾很坚固,没有什么东西能刺穿它。又夸耀他的矛很锋利,没有穿不透的东西。
有人就问,有他的矛去刺他的盾,将会有什么样的结果。他回答不上来了。
思考:这个故事蕴含了什么道理?
这个故事告诉我们要实事求是,不要夸大其词。
在数学中,常常借鉴这种“以子之矛攻子之盾”的做法来证明数学题。
学生活动1:
学生根据问题情景思考给出的合理答案
活动意图说明:
通过学习“自相矛盾”小故事,引出了课题《命题的证明》,也激发了学生学习兴趣。
环节二:新知讲解
教师活动2:
一、简单几何命题的证明采用剪拼或度量的方法,猜测“三角形的外角和”等于多少度?
从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于360°(如图)。采用剪拼或度量的方法可能接近360°,但不能很准确地得到360°
真命题不能靠猜测,所以如何判断其为真命题?
通过推理的方法加以证明
已知:如图,∠BAF,∠CBD和∠ACE分别是△ABC的三个外角.
求证:∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.
证明:
∵∠BAF=∠2+∠3,
∠CBD=∠1+∠3,
∠ACE=∠1+∠2(三角形外角定理),
∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等式的性质).
∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理),
∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.
证明与图形有关的命题时,一般有以下步骤:
例1已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C,点D在线段BA的延长线上,射线AE平分∠DAC求证:AE∥BC.
证明:
∵∠DAC=∠B+∠C(三角形外角定理),
∠B=∠C(已知),
∴∠DAC=2∠B(等式的性质).
又∵AE平分∠DAC(已知),
∴∠DAC=2∠DAE(角平分线的定义).
∴∠DAE=∠B(等量代换).
∴AE∥BC(同位角相等,两直线平行)
学生活动2:
组织学生进行小组讨论,根据证明的依据,寻找几何命题的证明过程,教师巡视给予指导,教师给出正确答案,师生共同归纳
活动意图说明:
在本环节通过小组讨论可提高学生合作探究能力以及分析问题、解决问题的能力,加深类比的思想。
环节三:新知讲解
教师活动3:
二、反证法
例2已知:∠A,∠B,∠C是△ABC的内角.
求证:∠A,∠B,∠C中至少有一个角大于或等于60°.
分析这个命题的结论是“至少有一个”,也就是说可能出现“有一个”、“有两个”、“有三个”这三种情况.如果直接来证明,将很繁琐,因此,我们将从另外一个角度来证明。.
求证:∠A,∠B,∠C中至少有一个角大于或等于60°.
证明:假设∠A,∠B,∠C中没有一个角大于或等于60°,
即∠A<60°,∠B<60°,∠C<60°,
则∠A+∠B+∠C<180°.
这与“三角形的内角和等于180°”矛盾,所以假设不正确.
因此,∠A,∠B,∠C中至少有一个角大于或等于60°
当
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