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梯形是相对限制较少的一类四边形,要使得一个四边形是梯形,只需要有其
中一组对边平行,另一组对边不平行即可。所以,在此类问题中,要么对点有较
高的限制(在某一直线上),要么对梯形形状有较高要求(等腰或直角)。综合利
用各个条件,才能求出最后的结果.
1、知识内容:
梯形的限制较少,所以可能出现的情况就会有很多,在处理时需要想清所有可能情况,
再进行讨论处理。有一种比较常见的情况是:若已知三点ABC,另一点M在某固定直线上,
形成的四边形ABCM为梯形,则会有两种情况:①AM//BC;②CM//AB,如图所示。
2、解题思路:
(1)根据题目条件,求出已知3个点的坐标;
(2)分情况进行讨论;
(3)对可能的各种情况,求出已知边所在直线的方程;
(4)根据直线方程,求得与其平行的直线的方程,再解出待求点的坐标;
(5)根据题目实际情况,验证所有可能点是否满足要求并作答.
注:若两条直线平行,则这两条直线的斜率相等.
【例1】在平面直角坐标系中,已知抛物线与x轴交于点A(,0)和点B,与y轴交于点C
(0,).
(1)求该抛物线的表达式,并写出其对称轴;
(2)点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点,点F在对称轴上,四边形ACEF为梯形,
求点F的坐标;
(3)点D为该抛物线的顶点,设点P(t,0),且t3,如果和的面积相
等,求t的值.
【答案】见解析.
【解析】(1)将A、C代入抛物线解析式,
解得抛物线解析式为:.
对称轴为:直线.
(2)E点为(1,0),分情况讨论:
①AC//EF
直线AC的解析式为.
∴直线EF的解析式为.
∴与对称轴的交点为(1,0),与E点重合(舍).
②AF//CE
直线CE的解析式为,
∴直线AF的解析式为.
∴与对称轴的交点为(1,4).
∴F点为(1,4).
综上,F点为(1,4).
(3)抛物线顶点D为,与x轴另一交点B为(3,0),
当和的面积相等(t3)时,有BC//DP.
直线BC的解析式为,
∴直线DP的解析式为.
解得:P点为(5,0),即t的值为5.
【总结】本题主要考查二次函数函数背景下的梯形存在性问题,注意对方法的归纳总结.
【例2】在平面直角坐标系中,抛物线过A(-1,0)、B(3,0)、C(2,3)三点,与y
轴交于点D.
(1)求该抛物线的解析式,并写出该抛物线的对称轴;
(2)分别联结AD、DC、CB,直线y=4x+m与线段DC交于点E,当此直线将四边
形ABCD的面积平分时,求m的值;
(3)设点F为该抛物线对称轴上一点,当以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时,
请直接写出所有满足条件的点F的坐标.
【答案】见解析.
【解析】解:(1)∵函数过点A(-1,0),B(3,0),
∴可将函数设为.
将C(2,3)代入,可得函数解析式为:,
对称轴为x=1;
(2)函数与y轴交点D为(0,3).
∵四边形ABCD为梯形,下底AB=4,上底CD=2,
直线y=4x+m要平分ABCD的面积,必与AB、CD均有交点,分别设为M、N.
∴M的纵坐标为0,N的纵坐标为3.
∴M为,N为.
可得,
解得:;
(3)分三种情况讨论
①当CF//AB时,AB的解析式为y=0,所以F点纵坐标为3,F点为(1,3);
②当AF//BC时,BC的解析式为,所以AF为,F点为(1,-6);
③当BF//AC时,AC的解析式为,∴BF为,∴F点为(1,-2);
综上,F点可能为(1,-6)或(1,3)或(1,-2).
【总结】本题一方面考查有关面积的计算,另一方面考查二次函数函数背景下的梯形存在性
问题,注意对方法的归纳总结.
1、知识内容:
特殊梯形主要分成等腰梯形和直角
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