备战2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)课时作业三十三　余弦定理、正弦定理应用举例.docx

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三十三余弦定理、正弦定理应用举例

(时间:45分钟分值:65分)

【基础落实练】

1.(5分)在相距2km的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离为()

A.6km B.2km

C.3km D.2km

【解析】选A.如图,在△ABC中,

由已知可得∠ACB=45°,所以ACsin60°=2sin45°,所以AC=22×3

2.(5分)如图,在200m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°,则塔高为()

A.4003m B.400

C.20033m D.

【解析】选A.设山顶为A,塔底为C,塔顶为D,过点A作CD的垂线,交CD的延长线于点B(图略),则易得AB=BCtan60°,BD=AB·tan30°=BCtan60°·tan30°=2003

所以CD=BC-BD=200-2003=4003

3.(5分)位于灯塔A处正西方向相距(53-5)nmile的B处有一艘甲船需要海上救援,位于灯塔A处北偏东45°相距52nmile的C处的一艘乙船前往营救,则乙船的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是南偏西()

A.30° B.60° C.75° D.45°

【解析】选B.依题意,过点C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D,如图,

则AB=53-5,AC=52,∠ACD=45°,

在Rt△ADC中,AD=DC=5,在Rt△BDC中,BD=53,DC=5,所以tan∠BCD=BDDC=3,又∠BCD∈(0,π2),所以∠BCD=π

4.(5分)(2023·铁岭模拟)如图,某景区欲在两山顶A,C之间建缆车,需要测量两山顶间的距离.已知山高AB=1km,CD=3km,在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°,山顶C的仰角为60°,∠AEC=150°,则两山顶A,C间的距离为()

A.27km B.33km

C.42km D.25km

【解析】选A.AB=1,CD=3,

∠AEB=30°,∠CED=60°,∠AEC=150°,

所以AE=2AB=2,CE=CDsin60°=

在△ACE中,由余弦定理得,

AC2=AE2+CE2-2×AE×CE×cos∠AEC=4+12-2×2×23×(-32

所以AC=27,即两山顶A,C间的距离为27km.

5.(5分)(多选题)八一广场是南昌市的心脏地带,江西省最大的城市中心广场,八一南昌起义纪念塔为八一广场标志性建筑,现某兴趣小组准备在八一广场上对八一南昌起义纪念塔的高度进行测量,并绘制出测量方案示意图,A为纪念塔最顶端,B为纪念塔的基座(即B在A的正下方),在广场内(与B在同一水平面内)选取C,D两点,测得CD的长为m.兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有∠ACB,∠ACD,∠BCD,∠ADC,∠BDC,则根据下列各组中的测量数据,能计算出纪念塔高度AB的是()

A.m,∠ACB,∠BCD,∠BDC

B.m,∠ACB,∠BCD,∠ACD

C.m,∠ACB,∠ACD,∠ADC

D.m,∠ACB,∠BCD,∠ADC

【解析】选ACD.对于A:由m,∠BCD,∠BDC可以解△BCD,可求BC,又AB=BC·tan∠ACB,可求塔高AB;

对于B:在△BCD中,由CD=m,∠BCD无法解三角形,在△ACD中,由CD=m,∠ACD无法解三角形,

在△BCA中,已知两角∠ACB,∠ABC无法解三角形,所以无法解出任意三角形,故不能求塔高AB;

对于C:由CD=m,∠ACD,∠ADC可以解△ACD,可求AC,又AB=AC·sin∠ACB,可求塔高AB;

对于D:过B作BE⊥CD于E,连接AE(图略),由cos∠ACB=BCAC,cos∠BCD=EC

cos∠ACE=ECAC知,cos∠ACE=cos∠ACB·cos∠

故可知∠ACD的大小,由∠ACD,∠ADC,m可解△ACD,可求AC.

又AB=ACsin∠ACB,可求塔高AB.

【加练备选】

在某次巡航中,军舰B在海港A的正南方向,军舰C在军舰B的正西方向,军舰D在军舰B,C之间,且CD=100海里,若在军舰C处测得海港A在东偏北45°的位置,在军舰D处测得海港A在东偏北75°的位置,则军舰B到海港A的距离为()

A.503海里

B.(506+502)海里

C.(503+50)海里

D.(253+25)海里

【解析】选C.由题意知,CD=100,∠B=90°,∠ACD=45°,∠ADB=75°,

所以∠ADC=105°,∠CAD=30°.