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二十一导数的不等式问题
(时间:45分钟分值:40分)
1.(10分)已知函数f(x)=ax+xlnx,且曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线4x-
y+1=0平行.
(1)求实数a的值;
【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=lnx+1+a,由题意知,f(e)=2+a=4,则a=2.
(2)求证:当x0时,f(x)4x-3.
【解析】(2)由(1)知,f(x)=2x+xlnx,
令g(x)=f(x)-(4x-3)=xlnx-2x+3,
则g(x)=lnx-1,
由lnx-10得xe,由lnx-10得0xe,
故g(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,
所以g(x)min=g(e)=3-e0,
即g(x)0,即f(x)4x-3.
【加练备选】
x
(2023·沧州七校联考)设a为实数,函数f(x)=e-2x+2a,x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值;
x
【解析】(1)由f(x)=e-2x+2a,x∈R,
x
得f(x)=e-2,x∈R,
令f(x)=0,得x=ln2.
于是当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表:
x(-∞,ln2)ln2(ln2,+∞)
f(x)-0+
f(x)单调递减2(1-ln2+a)单调递增
故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞).
f(x)在x=ln2处取得极小值,极小值为f(ln2)=2(1-ln2+a),无极大值.
x2
(2)求证:当aln2-1且x0时,ex-2ax+1.
x2
【解析】(2)设g(x)=e-x+2ax-1,x∈R.
x
于是g(x)=e-2x+2a,x∈R.
由(1)知当aln2-1时,g(x)的最小值为
g(ln2)=2(1-ln2+a)0,
于是对任意x∈R,都有g(x)0,
所以g(x)在R上单调递增,
于是当aln2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)g(0).
又g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)0,
x2x2
即e-x+2ax-10,故ex-2ax+1.
x2
2.(10分)(2023·合肥模拟)已知函数f(x)=e+x-x-1.
(1)求f(x)的最小值;
x
【解析】(1)由题意可得f(x)=e+2x-1,
则函数f(x)在R上单调递增,且f(0)=0.
由f(x)0,得x0;由f(x)0,得x0,
则f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(0)=0.
x2
(2)证明:e+xlnx+x-2x0.
x2
【解析】(2)要证e+xlnx+x-2x0,
x2
即证e+x-x-1-xlnx+x-1.
由
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