备战2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)课时作业二十五　简单的三角恒等变换.docx

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二十五简单的三角恒等变换

(时间:45分钟分值:85分)

【基础落实练】

1.(5分)若α为第二象限角,sinα=513,则sin2α等于(

A.-120169 B.-60169 C.120169

【解析】选A.因为α为第二象限角,sinα=513,所以cosα=-1-sin2α=-1-(513)?2=-12

2.(5分)tan22.5°

A.12 B.1 C.-12 D

【解析】选A.原式=12×2tan22.5°1

3.(5分)cos40°cos25°

A.1 B.3 C.2 D.2

【解析】选A.原式=cos220°-sin2

4.(5分)已知x∈(-π2,0),cos(π-x)=-45,则tan2x等于(

A.724 B.-724 C.247 D

【解析】选D.因为x∈(-π2,0),cos(π-x)=-45,所以cosx=45,sinx=-1-cos2x=-

因此tan2x=2tanx1-tan

5.(5分)(2023·枣庄模拟)已知sin(π6-α)=23,则cos(2α-4π3

A.-59 B.59 C.-13

【解析】选A.cos(2α-4π3)=cos(-π+2α-π3)=-cos(2α-π3)=-cos(π

=-[1-2sin2(π6-α)]=-(1-2×29)=-

6.(5分)(多选题)(2023·长沙模拟)若sinα2=33,α∈(0,π),则(

A.cosα=1

B.sinα=2

C.sin(α2+π4

D.sin(α2-π4

【解析】选AC.因为sinα2=33,α∈(0,π),所以α2∈(0,π2),cosα2

所以cosα=1-2sin2α2=1-2×(33)2=

sinα=2sinα2cosα2=2×33×6

sin(α2+π4)=sinα2cosπ4+cosα2sinπ4=33×2

sin(α2-π4)=sinα2cosπ4-cosα2sinπ4=33×22

7.(5分)计算:cos20°cos40°cos80°=.?

【解析】

原式=2sin20

=2sin40°cos40

=sin160°8sin20°=sin20

答案:1

8.(5分)(2024·长春模拟)若cosπ4-θ=12,则sin2

【解析】因为cosπ4-θ

所以sin2θ=cos(π2-2θ)=cos[2(π4-θ

=2cos2(π4-θ)-1=2×122

答案:-1

9.(5分)(2023·青岛模拟)已知tan2θ=-22,π4θπ2,则2cos

【解析】由tan2θ=-22,即2tanθ1-tan2θ=-22,解得tanθ

因为π4θπ2,所以tanθ=2且cosθ

则2cos2θ2-sinθ-1

答案:-3+22

10.(10分)(1)已知cos2θ=-45,π4θπ2,求sin4

【解析】(1)由π4θπ2,得π22θπ,所以sin2θ=1-cos22

=2×35×(-45)=-2425,cos4θ=2cos22θ-1=2×(-45)2-1=

(2)已知sin(α-2β)=437,cos(2α-β)=-1114,且0βπ4απ2,求

【解析】(2)由0βπ4απ2,得02βπ2,-π2-2β0,则-π4α

因为sin(α-2β)=4370,所以cos(α-2β)=1-(4

由0βπ4απ2,得π22απ,-π4-β0,则π4

因为cos(2α-β)=-1114,所以sin(2α-β)=5

因为π4α+β3π

又cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]

=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)=-1114×17+5314×437=12

11.(10分)已知函数f(x)=2cos(x-π6),x∈R

(1)求f(π)的值;

【解析】(1)f(π)=2cos(π-π6)=-2cosπ6=-2×32

(2)若f(α+2π3)=65,α∈(-π2,0),求f(2

【解析】(2)因为f(α+2π3)=2cos(α+π2)=-2sinα=65,所以sinα=-35.又α

所以cosα=1-sin2α

所以sin2α=2sinαcosα=2×(-35)×45=-

cos2α=2cos2α-1=2×(45)2-1=7

所以f(2α)=2cos(2α-π6)=2cos2αcosπ6+2sin2αsinπ6=2×725×32+2×(-24

【能力提升练】

12.(5分)魏晋南北朝时期,祖冲之利用割圆术以正24