2025版一轮高考总复习数学第二章　函数的概念与性质第二节　函数的单调性与最值.docxVIP

第二节函数的单调性与最值

1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.

2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义.

1.函数的单调性

（1）单调性的定义

定

义

要求x1，x2

一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I?D，如果?x1，x2∈I，当x1＜x2时

要求f（x1）与

f（x2）

都有f（x1）＜f（x2）

都有f（x1）＞f（x2）

结论

函数f（x）在区间I上单调递增；若函数f（x）在定义域D上单调递增，则f（x）为增函数

函数f（x）在区间I上单调递减；若函数f（x）在定义域D上单调递减，则f（x）为减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

（2）单调区间的定义：如果函数y＝f（x）在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间I叫做y＝f（x）的单调区间.

提醒（1）求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域；（2）“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N?M.

2.函数的最值

前提

设函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足

条件

①?x∈D，都有f（x）≤M；

②?x0∈D，使得f（x0）＝M

①?x∈D，都有f（x）≥M；

②?x0∈D，使得f（x0）＝M

结论

M是函数y＝f（x）的最大值

M是函数y＝f（x）的最小值

提醒（1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得；（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）函数y＝1x在定义域内单调递减.（×

（2）对于函数y＝f（x），若f（1）＜f（3），则f（x）为增函数.（×）

（3）若函数f（x）在区间（1，2]和（2，3）上均单调递增，则函数f（x）在区间（1，3）上单调递增.（×）

2.下列函数中是增函数的为（）

A.f（x）＝－x B.f（x）＝2

C.f（x）＝x2 D.f（x）＝3

解析：D取x1＝－1，x2＝0，对于A项有f（x1）＝1，f（x2）＝0，所以A项不符合题意；对于B项有f（x1）＝32，f（x2）＝1，所以B项不符合题意；对于C项有f（x1）＝1，f（x2）＝0，所以C项不符合题意.故选

3.已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（）

A.[－1，2]∪[4，5]

B.[－1，2]和[4，5]

C.[－3，－1]∪[2，4]

D.[－3，－1]和[2，4]

解析：B由图象知，该函数的单调递增区间为[－1，2]和[4，5]，故选B.

4.函数y＝1x－1在[2，3]上的最小值为

A.2 B.1

C.13 D.－

解析：B因为y＝1x－1在[2，3]上单调递减，所以ymin＝13－

5.函数f（x）＝1x2－2x－3

解析：由x2－2x－3＞0得x＜－1或x＞3，故f（x）的定义域为（－∞，－1）∪（3，＋∞），函数f（x）＝1x2－2x－3可看作y＝1t，t＝x2－2x－3复合而成，而y＝1t单调递减，要求f（x）＝1x2－2x－3的单调递增区间，只需求t＝x2－2x－3的单调递减区间，由函数y＝x2－2x－3在（－∞，－1

1.若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：

（1）当f（x），g（x）都单调递增（减）时，f（x）＋g（x）单调递增（减）；

（2）若k＞0，则kf（x）与f（x）单调性相同；若k＜0，则kf（x）与f（x）单调性相反；

（3）函数y＝f（x）（f（x）＞0）在公共定义域内与y＝－f（x），y＝1f（

2.函数单调性的两个等价结论

设?x1，x2∈I（x1≠x2），则：

（1）f（x1)-f（x2）x1－x2＞0（或（x1－x2）[f（x1）－f

（2）f（x1)-f（x2）x1－x2＜0（或（x1－x2）[f（x1）－f

1.（多选）若函数f（x），g（x）在给定的区间D上具有单调性，下列说法正确的是（）

A.函数f（x）与f（x）－c（c为常数）具有相同的单调性

B.函数f（x）与c·f（x）具有相同的单调性

C.若f（x）≠0，则函数f（x）与－1f

D.若函数f（x），g（x）在给定的区间上单调递减，则f（x）＋g（x）单调递减

解析：AD对于A，根据图象进行上下平移单调性不变，可知命题正确；由结论1可知选项B、C错误，D正确，故选A、D.

2.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意两个不等的实数a，b∈[0，＋∞），总有f（a)-f（b）a－b＞0，则满足f（