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数学分析选讲答案刘三阳

【篇一：0910012137李凤英-文献综述】

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应用数学学院09信息与计算科学李凤英0910012137

实数连续性定理的等价性证明文献综述【内容摘要】实数集是一个

完备的数集，实数连续性定理包括：确界定理、单调有界收敛定理、

区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西准则。

这七个定理可由确界存在性定理出发依次证明，用致密性定理证明

柯西准则的充分性，再由柯西准则充分证明确界存在性定理，形成

一个封闭的循环。同时，对这个环上的任意两个定理都可以证明其

等价性，它们都刻画了实数集r的连续性。本文建立在微积分的基础

上，探讨了数学分析中的这个重点、难点，对实数连续性定理的等

价性证明进行了深入的学习。

【关键字】确界定理单调有界收敛定理区间套定理有限覆盖定理

聚点定理致密性定理柯西准则实数连续性

第一章导言

数学分析的基础是实数理论。实数系最重要的特征是实数的连续性，

有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨

论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的

数学分析理论体系。《数学分析》课程是一门面向数学类专业的基

础课。学好数学分析是学好其他后继数学课程如微分几何，微分方

程，复变函数,实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计

等课程的必备的基础。

作为数学系最重要的基础课之一，数学科学的逻辑性和历史继承性

决定了《数学分析》在数学科学中举足轻重的地位，数学的许多新

思想，新应用都源于这坚实的基础。《数学分析》在实数完备性理

论体系上的严格化和精确化，确立了它在整个自然科学中的基础地

位，并运用于自然科学的各个领域。同时，数学研究的主体是经过

抽象后的对象，数学的思考方式有鲜明的特色，包括抽象化、逻辑

推理、最优分析、符号运算等。这些知识和能力的培养需要通过系

统、扎实而严格的基础教育来实现，数学分析课程正是其中最重要

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的一个环节。综合所参考的文献，也让我们对实数连续性定理的等

价性有了更深入的了解。

第二章研究现状

十七世纪，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼茨各自

独立发现，推动了

科学技术的前进。然而，贝克莱对牛顿理论的攻击，将无穷小量嘲

笑为“消失的量的灵魂”，却真正抓住了牛顿理论的缺陷。一方面，

微积分在应用中大获成功；一方面其自身却存在着逻辑矛盾。至十

九世纪，由十七、十八世纪积累下来的矛盾到了非解决不可的程度。

使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。

他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。1823年，柯西给出了

“柯西收敛定理”。而早在1817年，波尔察诺就确切地陈述了有界实

数集的最小上界（即上确界）的定义。利用他的思想，魏尔斯特拉

斯在19世纪60年代证明了“波尔察诺—魏尔斯特拉斯紧致性定理”。

海涅于1872年提出“有限覆盖定理”，波莱尔于1895年完善并证明

了“有限覆盖定理”。1872年，实数的三大派理论：戴德金“分划”理

论，康托的“基本序列”理论及魏尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论，

同时在德国出现，1892年，巴赫曼提出了建立实数理论的一个重要

原理——区间套原理。由此，沿柯西开辟的道路建立起来的严谨的

极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作，从而使微积

分学这座数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。

1999年,在《数学分析七大定理的互相证明》一文中，作者李寒对

实数连续性的7个基本定理进行了表述，其表述如下：

确界定理：在实数系r内，非空的有上（下