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第19讲三角函数的应用
【学习目标】
1.会用三角函数解决简单的实际问题,
2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型
【基础知识】
一、函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中,A,ω,φ的物理意义
1.简谐运动的振幅就是A.
2.简谐运动的周期T=eq\f(2π,ω).
3.简谐运动的频率f=eq\f(1,T)=eq\f(ω,2π).
4.ωx+φ称为相位.
5.x=0时的相位φ称为初相.
二、三角函数模型的应用
1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.实际问题通常涉及复杂的数据,因此往往需要使用信息技术.
2.建立函数模型的一般步骤
3.解三角函数应用问题的基本步骤
4.运用三角函数模型解决问题的几种类型
(1)由图象求解析式:首先由图象确定解析式的基本形式,例如:y=Asin(ωx+φ),然后根据图象特征确定解析式中的字母参数,在求解过程中还要结合函数性质.
(2)由图象研究函数的性质:通过观察分析函数图象,能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性.
(3)利用三角函数研究实际问题:首先分析、归纳实际问题,抽象概括出数学模型,再利用图象及性质解答数学问题,最后解决实际问题.
【考点剖析】
考点一:函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中,A,ω,φ的物理意义
例1.简谐运动的相位与初相是(???????)
A., B.,4
C.,- D.,
【答案】C
【解析】相位是,当时的相位为初相即.故选C
考点二:由图象研究函数的性质
例2.福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸,全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制,是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图,是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数,据此可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(?????)
A.5 B.6 C.8 D.10
【答案】C
【解析】从图象可以看出,函数最小值为-2,即当时,函数取得最小值,即,解得:,所以,当时,函数取得最大值,,这段时间水深(单位:m)的最大值为8m.故选C
考点三:三角函数在物理中的应用
例3.(2021-2022学年山东省潍坊市安丘、高密、诸城高一下学期5月期中)将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴,把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图像.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.如图所示,已知一根长为lcm的线一端固定,另一端悬一个漏斗,漏斗摆动时离开平衡位置的位移s(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系是,其中,,则估计线的长度应当是(精确到0.1cm)(???????)
A.15.4cm B.16.4cm C.17.4cm D.18.4cm
【答案】C
【解析】由,得.由函数的图象可知函数的周期为,
所以,即.故选C.
考点四:三角函数模型的简单应用
例4.(多选)(2021-2022学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联赛)阻尼器是一种以提供运动的阻力,从而达到减振效果的专业工程装置.如图,我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置,被称为“镇楼神器”.由物理学知识可知,某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动,其离开平衡位置的位移(cm)和时间t()的函数关系式为,其中,若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为,,,且,,则下列是的单调区间的是(???????)
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】因为且,,所以,,由,得是函数的一条对称轴方程,则,即,取,所以,
由,解得,故其单调增区间是,则减区间是,故选AC.
考点五:数据拟合问题
例5.某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度(米)随着时间(,单位:小时)而周期性变化.每天各时刻的浪高数据的平均值如下表:
(时)
(米)
(1)试在图中描出所给点;
(2)观察图,从,,中选择一个合适的函数模型,并求出该拟合模型的解析式;
(3)如果确定在一天内的时至时之间,当浪高不低于米时才进行训练,试安排恰当的训练时间.
【解析】(1)散点图如下,
(2)由散点图可知:应选择,
则,,,即,
将代入可得:,解得:,
该模型的解析式为:.
(3)令,则,
,,
或或,
解得:或或,应在白天点到点之间训练.
【真题演练】
1.(2021-2022学年重庆市实验中学高一下学期第一次月考)心脏每跳动一次,就完成一次收缩和舒张.心脏跳动时,
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