第18讲y=Asin(ωx+φ)(原卷版+解析).docxVIP

第18讲y=Asin(ωx+φ)三角恒等变换

【学习目标】

了解的实际意义，能借助图象理解参数的意义，了解参数的变化对函数图象的影响

【基础知识】

一、参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响

1.φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响

2.ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响

3.A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响

二、由函数y＝sinx的图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的途径

由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种主要途径：“eq\o(□,\s\up4(01))先平移后伸缩”与“eq\o(□,\s\up4(02))先伸缩后平移”．

(1)先平移后伸缩

(2)先伸缩后平移

三、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质

【考点剖析】

考点一：左右平移变换

例1．（2021-2022学年贵州省黔东南州凯里市第一中学高一下学期期中）将函数的图像向右平移个单位得到的图像，则（???????）

A． B． C．0 D．

【答案】B

【解析】由题得，所以．

故选B

考点二：沿x轴方向的伸缩变换

例2．（2021-2022学年浙江省温州市高一上学期期期末）已知函数，若特它的图象向左平移个单位，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则得到的函数解析式是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意知，将函数图象向左平移个单位，得，

再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得，故选A

考点三：沿y轴方向的伸缩变换

例3．（2020-2021学年河北省石家庄市第二中学高一下学期3月教学衔接测量）将函数的图象向左平移个单位长度，将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列说法不正确的是（???????）

A．函数的最小正周期为

B．函数的单调递减区间为

C．直线是函数图象的一条对称轴

D．函数图象的一个对称中心为点

【答案】D

【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，得到，

将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得，

再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数，

则的最小正周期，故A正确，

由，得，，

即函数的单调递减区间为，故B正确，

是最大值，则直线是函数图象的一条对称轴，故C正确，D错误.故选D．

考点四：y=Asin(ωx＋φ)的性质

例4．（2021-2022学年山西省长治市第四中学校高一上学期期末）设函数，则下列结论不正确的是（???????）

A．函数的值域是；

B．点是函数的图像的一个对称中心；

C．直线是函数的图像的一条对称轴；

D．将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数．

【答案】B

【解析】因为，，

所以，即函数的值域是，故A正确；

因为，所以函数关于对称，故B错误；

因为，所以函数关于直线对称，故C正确；

将函数的图像向右平移个单位长度得到为偶函数，故D正确；

故选B

考点五：三角变换与三角函数性质的交汇

例5.（2021-2022学年陕西省西安市长安区高一上学期期末）已知函数，则下列说法正确的有________.

①的图象可由的图象向右平移个单位长度得到

②在上单调递增

③在内有2个零点

④在上的最大值为

【答案】②③

【解析】由函数，

对于①中，将函数的图象向右平移个单位长度，

得到，所以①不正确；

对于②中，令，解得，

当时，可得，即函数在上单调递增，

所以函数在上单调递增，所以②正确；

对于③中，令，可得，解得，

当时，可得；当时，可得，

所以在内有2个零点，所以③正确；

对于④中，由，可得，

当时，即时，函数取得最大值，最大值为，所以④不正确.

故答案为②③.

考点六：由图象确定函数解析式

例6．（2021-2022学年甘肃省定西市高一下学期统一检测）函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移单位长度得到函数的图象，则函数的解析式是（???????）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】由图可知；设周期为，则，所以；

又，所以.

由，，令，得.

所以；

因为将的图象向右平移单位长度得到函数的图象，

所以.故选C.

【真题演练】

1．（2021-2022学年河南省驻马店市高一下学期期中）要得到函数的图像，只需将的图像（???????）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

2.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小

正周期为 ()

()

A． B． C． D．

3.（2021-2022学年山东省潍坊市高一下学期5月