人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第2章 平面解析几何 2.3.3 直线与圆的位置关系.ppt

2.3.3直线与圆的位置关系第二章

内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑03随堂练习

课标定位素养阐释1.理解直线与圆的三种位置关系.2.会判断直线与圆的位置关系.3.能解决直线与圆的位置关系的综合问题.4.重点提升数学运算和直观想象素养.

自主预习新知导学

直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系有哪几种?提示:相离、相切、相交.2.根据直线与圆的交点的个数能否判断直线与圆的位置关系?提示:能.

3.已知圆M:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),直线Ax+By+C=0,则

4.直线x+y-1=0与圆x2+y2=1的位置关系是.?答案:相交

【思考辨析】判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若由直线方程和圆的方程组成的方程组有解,则直线与圆相交.()(2)只要求得圆的半径及圆心到直线的距离,就能判断直线与圆的位置关系.()(3)圆截直线所得的线段最长等于圆的半径.()×√×

合作探究释疑解惑

探究一判断直线与圆的位置关系【例1】已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,直线与圆:(1)有两个公共点;(2)只有一个公共点;(3)没有公共点.

解:(方法一)由已知,得y=mx-m-1,代入圆的方程,整理得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0,Δ=4m(3m+4).(1)当且仅当m0或m-时,Δ0,方程有两个不相等的实数解,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点.(2)当且仅当m=0或m=-时,Δ=0,方程有两个相等的实数解,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点.(3)当且仅当-m0时,Δ0,方程没有实数解,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点.

(方法二)圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,故圆心为(2,1),半径r=2.圆心(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离(1)当且仅当d2,即m0或m-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点.(2)当且仅当d=2,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点.(3)当且仅当d2,即-m0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点.

判断直线与圆的位置关系的方法(1)几何法:根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.(2)代数法:将直线方程与圆的方程联立组成方程组,消元得到一元二次方程,利用一元二次方程的判别式Δ判断.

【变式训练1】已知圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=4,直线l的方程为y=x+m,求:当m为何值时,(1)直线l平分圆C;(2)直线l与圆C相切;(3)直线l与圆C有两个公共点.

探究二圆的切线问题【例2】过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1引切线,求其切线的方程.分析:设出切线方程,根据切线的性质,确定相应的参数.解:因为(2-1)2+(4+3)2=501,所以点M在圆外.当直线斜率存在时,设直线方程为y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0.所以直线方程为24x-7y-20=0.当直线斜率不存在时,直线x=2与圆相切.综上所述,所求切线方程为24x-7y-20=0或x=2.

本例中,将点M的坐标改为(1,-4),求切线方程.解:因为(1-1)2+(-4+3)2=1,所以点M在圆上.又圆心为(1,-3),所以切线斜率为0,所以切线方程为y=-4.

过一点求圆的切线方程的方法(1)求圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为-,由点斜式可得切线方程.若切线斜率为零或不存在,则由图形可直接得到切线方程y=y0或x=x0.(2)求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程:设切线方程为y-y0=k(x-x0),根据圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得k,也就得到切线方程.当用此法只求出一个方程时,另一个方程应为x=x0,因为此解法中不包括斜率不存在的情况,而过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方程组的方法求切线方程.

【变式训练2】求过点(1,-7),且与圆x2+y2=25相切的直线方程.解:由题意知,切线斜率存在,设切线的斜率为k,则切线方程为y+7=k(x-1),即故所求切线方程为4x-3y-25=0或3x+4y+25=0.

探究三求弦长问题【例3】已知圆x2+y2=8内有一点P0(-1,2),过点P0,且倾斜角为α的直线与圆交于点A,B.(1)当α=135°时,求AB的长;(2)当弦AB被点P0平分时,写出直线AB的方程.

解:(1)∵α=135°,∴kAB=tan135°=-1.∴直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0.作OC⊥AB于点C,如图.∵圆心为(0,