人教B版高中同步学案数学选择性必修第三册精品课件 第五章 数列 5.1.2 数列中的递推.pptVIP

5.1.2数列中的递推第五章

内容索引0102基础落实?必备知识全过关重难探究?能力素养全提升03学以致用?随堂检测全达标

课标要求1.逐步体会递推公式是数列的一种表示方法;2.理解递推公式的概念及含义,能够根据递推公式写出数列的前几项;3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法;4.理解数列的前n项和,会根据数列的前n项和Sn求通项an.

基础落实?必备知识全过关

知识点1数列的递推关系如果已知数列的,且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的(也称为递推公式或递归公式).?名师点睛通项公式与递推公式的区别与联系类别区别联系通项公式an是序号n的函数式an=f(n)都是给出数列的方法,都可求出数列中任意一项递推公式数列的相邻两项或两项以上的关系式首项(或前几项)递推关系

过关自诊1.已知数列{an}的首项a1=1,且an=3an-1+1(n≥2),则a4为()A.13 B.15 C.30 D.40答案D解析a2=3a1+1=4,a3=3a2+1=13,a4=3a3+1=40.2.所有的数列都有递推公式吗?提示递推公式是给出数列的一种重要方法,但并不是所有的数列都有递推公式.例如精确到1,0.1,0.01,0.001,…的不足近似值排列成一列数1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式.

知识点2数列的前n项和一般地,给定数列{an},称为数列{an}的前n项和.?过关自诊若数列{an}的前n项和为Sn=3n2-2n+1,则数列{an}的通项公式为an=.?Sn=a1+a2+a3+…+an解析当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5.显然当n=1时,不满足上式,

重难探究?能力素养全提升

探究点一由递推关系写出数列的项【例1】已知数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项由an=an-1+an-2(n≥3)给出.(1)写出此数列的前5项;(2)通过公式构造一个新的数列{bn},写出数列{bn}的前4项.

解(1)∵an=an-1+an-2(n≥3),且a1=1,a2=2,∴a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8,故数列{an}的前5项依次为1,2,3,5,8.

规律方法由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,再依次代入计算.(2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1.(3)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如

变式训练1已知数列{an}的首项a1=1,以后的各项由公式给出,试写出这个数列的前5项.

探究点二由递推公式求通项公式【例2】(1)已知a1=1,an+1-an=2,求数列{an}的通项公式.(2)已知a1=1,an+1=2an,求数列{an}的通项公式.解(1)(方法一)∵a1=1,an+1-an=2,∴a2-a1=2,a3-a2=2,a4-a3=2,…,an-an-1=2,将这些式子的两边分别相加得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=2(n-1),即an-a1=2(n-1).又a1=1,∴数列{an}的通项公式为an=2n-1.(方法二)an=an-1+1×2=an-2+2×2=…=a1+(n-1)×2=2n-1,即数列{an}的通项公式为an=2n-1.

又a1=1,∴数列{an}的通项公式为an=2n-1.(方法二)an=2an-1=22an-2=23an-3=…=2n-1·a1=2n-1,即数列{an}的通项公式为an=2n-1.

规律方法由递推公式求通项公式的方法(1)归纳法一般是根据递推公式先写出前几项,然后进行归纳猜想n与an间的内在规律,但此方法不严密,易发生错误.(2)累加法当an-an-1=f(n)满足一定条件时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1来求通项公式an.(3)累乘法

变式探究将本例(2)中条件“an+1=2an”改为“an+1=an+”,其他条件不变,则an=.?

探究点三数列中an与Sn的关系【例3】(1)若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n2-3n,求通项an.(2)若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=5n-3,求通项a