9-2-4总体离散程度的估计-高中数学人教版必修第二册.pdfVIP

9.2用样本估计总体

9.2.4总体离散程度的估计

了解分布的意义和作用

理解样本数据的方差与标准差的意义和作用，会计算样本数据

学习目标的方差与标准差

能从样本数据中计算出方差和标准差，并给出合理的解释

学习重点

计算样本数据的方差与标准差，理解它们的意义和作用

学习难点

对所求样本数据作出数字特征的合理解释

思考一下

有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：

甲78795491074

〇

()

Z95

76

76877

如果你是教练，如何对两位运动员的射击情况作出评价?如果这是一次选拔性考核，

你应该如何做出选择?

问题分析

通过简单的排序和计算，可以发现甲、乙两名运动员射击成绩的平

均数、中位数、众数都是7.

频率中频率

0.40.4

0.3-0.3

0.20.2

0.10.1

4910环数0410环数

058568

6779

(甲)(乙)

从这个角度看，两名运动员之间没有差别.但从图中看，甲的成

绩比较分散，乙的成绩相对集中，即甲的成绩波动幅度比较大，而

乙的成绩比较稳定.

问题：可见，他们的射击成绩是存在差异的，那么,如何度量成绩的这

种差异呢?

结论

一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差.

根据甲、乙运动员的10次射击成绩，可以得到

甲命中环数的极差=10-4=6,

乙命中环数的极差=9-5=4.

可以发现甲的成绩波动范围比乙的大，极差在一定程度上刻画

了数据的离散程度.但因为极差只使用了数据中最大、最小两个

值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信

息量很少.

如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不

会太远；相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射

击成绩离平均成绩会比较远.方差

因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平

均距离”来度量成绩的波动幅度.

新课学习

方差

均数的差的绝对值作为“距离”,即

x;-x(i=1.2.…n)

12k-7.

为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即

.(1)

,2(x-x}

我们称(1)式为这组数据的方差，有时为了计算方差的方便，我们

还把方差写成以下形式

12-x2

标准差

由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致.为了使二者单位

一致，我们对方差开平方，取它的算术平方根，即

(2)

√n2(-x}

我们称(2)式为这组数据的标准差

总体标准差

s2=NEu-r2

为总体方差，S=√s2为总体