一、空间直角坐标系、空间向量运算的坐标表示公开课教案教学设计课件资料.docxVIP

一、空间直角坐标系、空间向量运算的坐标表示

一、知识梳理

1.空间直角坐标系

空间选定一点O和一个单位正交基底i,j,k,以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz

2.点的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量OA,且点A的位置由向量OA唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA=xi+yj+zk.在单位正交基底i,j,k下与向量OA对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点

3.向量的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作OA=a由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作a=(x,y,z

4.空间向量的坐标运算法则

设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么

向量运算

向量表示

坐标表示

加法

a+b

?

减法

a-b

?

数乘

λa

?

数量积

a·b

?

5.空间向量的坐标与其端点坐标的关系

设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).

即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.

6..空间向量平行与垂直条件的坐标表示

若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则(1)当b≠0时,a∥b?a=λb?(λ∈R);?

(2)a⊥b??.?

注意：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表示为a∥b?a

7.空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示

若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则(1)|a|=a·a=;?(2)cosa,b=a·

(3)若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1,P2两点间的距离为|P1P2

二、典例应用

例1在直三棱柱ABO-A1B1O1中,∠AOB=π2,AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,建立适当的空间直角坐标系,求DO

练1.如图,在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,若以A为坐标原点，以AB,AD,AA1的方向为正方向建立数轴:x轴、y轴、z轴,则向量AE的坐标为,向量AF的坐标为

例2已知在空间直角坐标系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).(1)求AB+CA,CB-2BA,AB·AC;(2)若点M满足AM=12AB+34AC,求点M的坐标;(3)若p

练2已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设a=AB,b=AC.(1)若|c|=3,c∥BC,求c;(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.

例3.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()

A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(2\r(5),5) D.eq\f(3,5)

例4在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱D1D的中点,点P,Q分别为线段B1D1,BD上的点,且3B1P=PD1,若PQ⊥AE,BD=

拓展探究：本例中若点G是A1D的中点,点H在平面xOy上,且GH∥BD1,试判断点H的位置.

课时作业

1．下列叙述中，正确的个数是（????）

①空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标一定是的形式；

②空间直角坐标系中，在平面内的点的坐标一定是的形式；

③空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标一定是的形式；

④空间直角坐标系中，在平面内的点的坐标一定是的形式.

A．1 B．2 C．3 D．4

2．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（????）

A． B． C． D．

3．如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为，，则等于（????????）

A． B． C． D．

4.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为的正方体，的中点到的中点的距离为.

5.在空间四边形ABCD