第12讲对数与对数函数(原卷版+解析).docxVIP

第12讲对数与对数函数

【学习目标】

1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数

2.通过具体实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性和特殊点

3.知道对数函数与指数函数互为反函数

【基础知识】

一、对数的概念

1.对数的概念：如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2.两种特殊的对数

①常用对数：通常以10为底的对数叫做常用对数，N的常用对数log10N简记为lg_N；

②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，N的自然对数logeN简记为lnN(其中e＝2.71828…)．

二、对数与指数的关系

1.对数的基本性质

①零和负数没有对数，即真数N0；

②1的对数为0，即loga1＝0(a0，且a≠1)；

③底数的对数等于eq\o(□,\s\up3(04))1，即logaa＝1(a0，且a≠1)．

2.两个重要的对数恒等式

①alogaN＝N(a0，且a≠1，N0)；

②logaaN＝N(a0，且a≠1)．

三、对数运算性质

如果a0且a≠1，M0，N0，那么，

(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；

(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；

(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．

四、换底公式

1.对数的换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a0且a≠1；c0且c≠1；b0)．

2.三个较为常用的推论

①logab·logbc·logca＝1(a0，b0，c0，且均不为1)；

②logab＝eq\f(1,logba)(a0，b0，且均不为1)；

③logambn＝eq\f(n,m)logab(a0，b0，且均不为1，m≠0)．

五、对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的性质

1.定义域：(0，＋∞)．

2.值域：(－∞，＋∞)．

3.定点：(1,0)．

4.单调性：a1时，在(0，＋∞)上是增函数；0a1时，在(0，＋∞)上是减函数．

5.函数值变化

当a1，x1时，y∈(0，＋∞)，0x1时，y∈(－∞，0)；

当0a1，x1时，y∈(－∞，0)，0x1时，y∈eq\o(□,\s\up1(09))(0，＋∞)．

六、函数的概念

对数函数y＝logax(a0，且a≠1)与指数函数y＝ax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，而y＝logax的值域是y＝ax的定义域．

【考点剖析】

考点一：指数式与对数式的互化

例1．已知，则（???????）

A．2 B．3 C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以.故选D

考点二：利用对数恒等式求值

例2．（2021-2022学年湖南省衡阳市衡南县高一上学期期末）下列各式，，分别等于（???????）

A．2，5， B．2，5，35

C．2，3， D．4，3，

【答案】B

【解析】，，，故选B.

考点三：对数运算性质的应用

例3．（2021-2022学年山西省长治市第四中学校高一上学期期末）计算：（???????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】

；故选B

考点四：换底公式的应用

例4．（2021-2022学年安徽省安庆市高一上学期期末）已知，，用，表示，则（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意知，故选D．

考点五：求对数型函数的定义域与值域

例5.（2021-2022学年河南省扶沟县二高高一上学期考试）函数的定义域为（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，，解得故选D

考点六：求对数型函数的单调区间

例6．（2021-2022学年河北省唐县第一中学高一下学期5月月考）设函数，则的单调递增区间为_________．

【答案】

【解析】记，因为为减函数，所以当单调递增时，单调递减，

由得或，又当时，单调递减.故．故答案为.

考点七：利用对数函数的单调性比较大小

例7．（2021-2022学年新疆喀什地区疏附县高一上学期期末）已知，则（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，所以，因为，所以，

因为，即，所以.故选C

考点八：利用对数函数的单调性求参数范围

例8．（2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高一上学期期末）已知函数是上的增函数，则实数的取值范围为（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】函数是上的增函数，所以，解得，

所以实数的取值范围是，故选A.

考点九：对数型函数的奇偶性

例