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第四章
随机变量的数字特征
上一章介绍了随机变量的分布函数、概率函数和分布律,它们都能完整地描述随机变量,但是在某些实际或理论问题中,往往人们感兴趣的只是能够描述随机变量的某一种特征常数。
例如,一足球队队员的球龄是随机变量,但观众往往关注的只是平均年龄;一个白领一年十二个月的收入是一个随机变量,但人们往往只关注月平均收入。这种由随机变量的分布所确定的,能刻画随机变量某一方面特征的常数称为数字特征。
序言
01
数学期望
X
0
1
2
…
200
次数
m0
m1
m2
…
m200
频率
…
由表知,同时工作的车床数平均值为
这个数是与随机变量X密切相关的,但由于频率随观察次数n的变动而不同,所以这个数值带有一定的波动性。
定义1设离散型随机变量X的分布律为 ,若级数 绝对收敛,则称级数 为随机变量X的数学期望,记为E(X),即
(4-1)
数学期望简称期望或均值。
数学期望完全由随机变量X及其分布所确定,式(4-1)既是数学期望的定义式,也同时是数学期望的计算式。
解
解由定义式(4-1)知:
解由定义式(4-1)知:
定义2设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分 绝对收敛,则称积分 为随机变量X的数学期望,记为E(X),即
(4-1)
数学期望完全由随机变量X及其分布所确定,式(4-2)既是数学期望的定义式,也同时是数学期望的计算式。
解由定义式(4-2)知:
解由定义式(4-2)知:
令
则
解因为
所以积分 非绝对收敛,故E(X)不存在。
随机变量数学期望的定义可以推广到多维随机变量.譬如,设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布律为
则其数学期望为
(4-3)
(4-4)
二维连续随机变量(X,Y)的数学期望为
(4-5)
(4-6)
其中为联合分布律,f(x,y)为联合分布函数。
Y
X
1
2
3
1
0
2
0
X
1
2
P
解根据表可知,随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布如表所示。
Y
1
2
3
P
所以
解(x,y)的分布如图所示
定理1设离散型随机变量X的分布律为 是实值连续函数,且级数 绝对收敛,则随机变量函数g(X)的数学期望为
(4-7)
定理2设连续型随机变量X的概率密度为f(x),g(x)是实值连续函数,且积分 绝对收敛,则随机变量函数g(X)的数学期望为
(4-8)
X
-1
0
1
P
解根据表可知,关于Y的边缘分布如表所示。
Y
0
1
P
因此,由式(4-7)知,
解记圆面积为S,则
又由已知X的概率密度为
则由式(4-8)有
定理3设二维离散随机变量(X,Y)的分布律为
g(x,y)是实值连续函数,且级数 绝对收敛,则随机变量函数g(X,Y)的数学期望为
(4-9)
定理4设连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),g(x,y)是实值连续函数,且积分 绝对收敛,则随机变量函数g(X,Y)的数学期望为
(4-10)
解
解设t表示进货量,易知应取8t16。进货t所得利润记为W(X),且有
利润W(X)是随机变量函数,求最大利润即为求“平均利润”的最大值.X的概率密度函数为
由式(4-8)知
令
得
而
所以,当t=14时,E[W(X)]取极大值,也是最大值.也就是说,进货为14kg时,平均利润最大,即所获得的利润最大.
解记随机变量Xi,则 指第i次试验中事件A发生, 指第i次试验中事件A不发生, ,其中,P(A)=P
由例1可知,
所以
02
方差
先从例子说起。例如,有一批灯泡,其平均寿命是E(X)=1000h,仅由这一指标我们还不能判定这批灯泡的质量好坏。事实上,有可能其中绝大部分灯泡的寿命都在950~1050h;也有可能其中约有一半是高质量的,它们的寿命大约有1300h,另一半却是质量很差的,其寿命大约只有700h。为要评定这批灯泡质量的好坏,还需进一步考察灯泡寿命X与其均值E(X)=1000的偏离程度.若偏离程度较小,表示质量比较稳定。从这个意义上来说,我们认为质量较好。
前面也曾提到一个白领一年十二个月的收入是一个随机变量,但人们往往关注月平均收入,但两份月平均收入相同的工作,哪份工作会更好呢?这个时候就要考虑每个月实际收入和平均收入的偏离程度。
由此可见,研究随机变量与其均
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