人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第五章 数列 5.3.2 第1课时 等比数列的前n项和.ppt

;内容索引;;自主预习新知导学;等比数列的前n项和公式

1.有一个古老的传说:国王打算奖赏国际象棋的发明人.国王问他想要什么,他对国王说:陛下,请您在这张棋盘的第1个小格里,赏给我1粒麦子,在第2个小格里给2粒,在第3小格里给4粒,以后每一小格都比前一小格加一倍,直到第64个格子.国王觉得这要求太容易满足了,就下令给他这些麦粒.当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时,国王才发现:就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来,也满足不了那位发明者的要求.那么,发明者要求得到的麦粒到底有多少粒呢?;(1)数列1,2,22,23,…,2n,…的首项和公比分别是多少?

提示:首项为1,公比为2.

(2)该数列的前n项和Sn=1+2+22+…+2n-1,①

两边同乘公比2,得:2Sn=2+22+23+…+2n,②

这两个等式的右边有何相同点?若用②式减去①式,会有什么结果?

提示:两个等式的右边除首项与末项不同外,其余各项均相同.若用②式减去①式会把这些相同的项全部消掉,求得Sn=2n-1.

(3)你能利用问题(2)中得到的这个结果,计算一下上述问题中发明者要求得到的麦粒到底有多少粒吗?

提示:令n=64,得

S64=264-1=18446744073709551615(粒).;(4)已知Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1(q≠1),若按问题(2)的方法处理会怎样呢?;2.等比数列的前n项和公式;3.(1)已知等比数列{an}的公比q=2,首项a1=2,则Sn等于()

A.n2+n B.n2-n

C.2n+1-2 D.2n-1

(2)在等比数列{an}中,a1=2,S3=26,则公比q=()

A.3 B.-4 C.3或-4 D.-3或4;【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.

(1)求等比数列{an}的前n项和时,可直接套用公式Sn=来求.(×)

(2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和为Sn=na.(√)

(3)等比数列{an}的首项为1,a4=8,则前5项和为31.(√)

(4)等比数列{2n}的前n项和为2n-2.(×);合作探究释疑解惑;;在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1与q是最基本的元素,已知其中三个,求其余两个时,可利用通项公式与求和公式,列出方程组求解,即“知三求二”.在解方程组时,要注意整体思想的运用,如qn,都可看作一个整体.;【变式训练1】设数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和.;;1.解数列应用题的具体步骤

(1)认真审题,理解题意,达到如下要求.

①明确问题属于哪类应用问题,即明确是等差数列问题,还是等比数列问题,还是递推数列问题?是求an,还是求Sn?特别要注意准确弄清项数为多少.

②弄清题目中主要的已知条件.

(2)抓住数量关系,联想所学的数学知识和数学方法,恰当地引入参数变量,并将文字语言转化成数学语言,将数量关系用数学式子表达.

(3)将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求的量联系起来,并根据题意列出数学关系式.

2.价格升降、细胞繁殖、利率、税率、增长率(如本题)等问题常转化为数列问题去解决.;【变式训练2】某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N+)等于.?;;1.一般地,若数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列且公比为q,求数列{anbn}的前n项和时,可采用错位相减法.

2.运用等比数列前n项和公式时,必须注意公比q是否为1.若不能确定公比q是否为1,则应分类讨论.

3.在写Sn和qSn表达式时,应特别注意“错项对齐”,以便于下一步准确写出Sn.;【变式训练3】求数列{(2n-1)an-1}(a≠0)的前n项和.;【易错辨析】;正解:若q=1,则S3=3a1=6,符合题意.

此时,q=1,a3=a1=2.

若q≠1,则由等比数列的前n项和公式,;在求等比数列前n项和Sn时,若不明确公比q的具体情况,不能直接套用前n项和公式,需要分q=1和q≠1两种情况进行讨论.;【变式训练】在等比数列{an}中,a3=4,S3=12,求数列{an}的通项公式.;随堂练习;1.设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则()

A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2

C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an;2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=a2+10a1,a5=9,则a1=();3.已知等比数列{an},若a1=5,q=2,Sn=35,则an=