人教B版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第4章 概率与统计 4.2.5 正态分布.pptVIP

第四章4.2.5正态分布

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课程标准1.通过实例,认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义.理解3σ原则,会求随机变量在特殊区间内的概率.2.通过本节的学习,体会函数思想、数形结合思想在实际中的运用.

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知识点一正态曲线1.定义一般地,函数对应的图象称为正态曲线(也因形状而被称“钟形曲线”,φ(x)也常常记为φμ,σ(x)).其中μ=,即X的均值;σ=,即X的标准差.?E(X)

2.正态曲线的性质(1)正态曲线关于对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置),具有中间高、两边低的特点;?(2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为;(3)σ决定正态曲线的“胖瘦”:σ越大,说明标准差越大,数据的集中程度越,所以曲线越“胖”;σ越小,说明标准差越小,数据的集中程度越,所以曲线越“瘦”.?x=μ1弱强

名师点睛1.正态曲线位于x轴上方,与x轴不相交.2.曲线在x=μ时处于最高点,并由此处向左右两边延伸时,曲线逐渐降低,其图象“中间高,两边低”.3.当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.4.正态曲线完全由变量μ和σ确定,参数μ是反映随机变量的平均水平的特征数,所以用样本的均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本的标准差去估计.

过关自诊1.关于正态曲线特点的描述:①曲线关于直线x=μ对称,这条曲线在x轴上方;②曲线关于直线x=σ对称,这条曲线只有当x∈(-3σ,3σ)时才在x轴上方;③曲线关于y轴对称,曲线对应的函数是一个偶函数;④曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低;⑤曲线的对称轴由μ确定,曲线的形状由σ确定;⑥σ越大,曲线越“胖”,σ越小,曲线越“瘦”.说法正确的是()A.①④⑤⑥ B.②④⑤ C.③④⑤⑥ D.①⑤⑥A

解析参照正态曲线的性质,正态曲线位于x轴上方,只有当μ=0时,正态曲线才关于y轴对称,因此A选项正确.

2.[北师大版教材习题改编]若随机变量ξ~N(μ,σ2),其概率密度函数为(x∈R),则σ的值为()A.1 B.2 C.4 D.8B

知识点二正态分布1.正态分布一般地,如果随机变量X落在区间[a,b]内的概率,总是等于φμ,σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a,b]内围成的,则称X服从参数为μ与σ的正态分布,记作X~.?此时φμ,σ(x)称为X的概率密度函数,此时μ是X的,σ是X的,σ2是X的.?面积N(μ,σ2)均值标准差方差

2.随机变量X在三个特殊区间内取值的概率及3σ原则(1)在三个特殊区间内取值的概率若X~N(μ,σ2),则①P(|X-μ|≤σ)=≈,?②P(|X-μ|≤2σ)=≈,?③P(|X-μ|≤3σ)=≈.?P(μ-σ≤X≤μ+σ)68.3%P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)95.4%P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)99.7%

(2)3σ原则由于随机变量X在(-∞,+∞)内取值的概率为1,又由P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%知,X约有99.7%的可能会落在距均值3个标准差的范围之内,也就是说只有约0.3%的可能会落入这一范围之外(这样的事件可看成小概率事件),这一结论通常称为正态分布的“3σ原则”.?通常认为这种情况几乎不可能发生名师点睛X几乎都取值于区间[μ-3σ,μ+3σ]之内,而在此区间以外取值的概率是极小的,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.这是统计中常用的检验的基本思想.

3.标准正态分布μ=0且σ=1的正态分布称为标准正态分布,记作X~.?过关自诊1.如果随机变量X~N(4,1),则P(X2)等于()A.0.21 B.0.023 C.0.045 D.0.021N(0,1)B

2.已知随机变量X服从正态分布,且X落在区间(0.2,+∞)内的概率为0.5,那么相应的正态曲线f(x)在x=时达到最高点.?3.[人教A版教材习题改编]设随机变量X~N(0,1),则X的概率密度函数为,P(|X|≤1)=,P(X≤1)=,P(X1)=.(精确到0.001)?0.2解析由正态曲线关于直线x=μ对称,且在x=μ处达到峰值和其落在区间(μ,+∞)内的概率为