选择题题库40道：计算机科学与技术-数学-离散数学_代数结构与群论.docxVIP

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在群论中，如果我们有一个群G和它的子群H，那么G/

A．H在G中的所有左陪集的集合

B．G中所有元素与H中元素的乘积集合

C．G和H的并集

D．G与H的交集

答案：A

解析：G/H代表的是群G对于子群H的所有左陪集的集合，当H是G的正规子群时，

如果一个群G中，对于任意元素a,b∈

A．非交换群

B．有限群

C．交换群

D．无限群

答案：C

解析：这是交换群的定义，即群中任意两个元素的乘法运算都可交换。

如果一个群G的阶是n，那么根据拉格朗日定理，其所有子群的阶必须满足什么条件？

A．必须等于n

B．必须是n的倍数

C．可以是任意整数

D．必须是n的因子

答案：D

解析：拉格朗日定理表明，群G的任何子群H的阶必须是G的阶的因子。

在群G中，如果存在一个元素a，使得G的任何元素都可以表示为a的幂，那么G是什么群？

A．循环群

B．直和群

C．素数阶群

D．非循环群

答案：A

解析：当一个群中存在一个生成元，该群的任何元素都可以通过这个生成元的幂来表示时，这个群被称为循环群。

什么元素的逆元是它自身？

A．任何元素

B．单位元

C．零元素

D．自逆元素

答案：D

解析：如果一个元素与它的逆元相同，那么这个元素叫做自逆元素。

Z/4Z

A．1

B．2

C．3

D．4

答案：B

解析：在模4的整数环中，元素2+4Z

如果一个群G是群H和K的直积，那么G中元素h1,k

A．h

B．h

C．h

D．h

答案：B

解析：群的直积中，两个元素的乘法是通过分别在各自群中进行乘法运算得到的。

如果一个群G的运算满足交换律和结合律，那么这个群是：

A．交换群

B．结合群

C．幂等群

D．非结合群

答案：A

解析：交换律和结合律同时满足的群就是交换群。

在群G中，a的阶n意味着什么？

A．a

B．a

C．a

D．a

答案：A

解析：元素a的阶n意味着an等于群的单位元e，这是最小的正整数n

如果一个群G中，每个元素都有唯一逆元，那么这个性质称为：

A．单位元性质

B．逆元性质

C．交换性质

D．结合性质

答案：B

解析：这是群的逆元性质，其中每个元素都有唯一的一个逆元。

在群G中，如果每个元素的平方等于单位元，那么G是：

A．交换群

B．自逆群

C．幂等群

D．循环群

答案：B

解析：如果群中每个元素的平方等于单位元，那么每个元素也是它自己的逆元，这样的群被称为自逆群。

如果一个群的运算不是封闭的，那么这个群：

A．是循环群

B．是交换群

C．不是群

D．是直积群

答案：C

解析：群的一个基本性质是其运算必须是封闭的，即群中任意两个元素的运算结果也必须在群中。

一个群的单位元满足什么条件？

A．与群中任意元素乘积等于该元素自身

B．群中任意元素的逆元

C．群中任意元素与之相乘结果为零

D．群中没有元素与之相乘等于单位元

答案：A

解析：群的单位元与群中任何元素的乘积等于该元素自身，这是单位元的定义。

如果群G中存在两个不同的子群H和K，且H∩K={e

A．相交

B．并列

C．交集为空，除了单位元e

D．同构

答案：C

解析：当两个子群的交集只包含单位元时，表示它们除了单位元外没有其他共同元素。

如果一个群G的阶是素数p，那么G必然是：

A．循环群

B．交换群

C．直和群

D．非交换群

答案：A

解析：阶为素数的群一定是循环群，因为任何非单位元的元素都可以生成整个群。

在群G中，定义一个等价关系，如果所有元素的左陪集和右陪集相同，这个群是：

A．循环群

B．交换群

C．直积群

D．正规群

答案：D

解析：当一个群中所有元素的左陪集和右陪集相同，这意味着群中的所有子群都是正规子群，这样的群被称为正规群。

如果一个群G中存在一个元素a，其阶为无穷大，那么G是：

A．有限群

B．循环群

C．自逆群

D．无限群

答案：D

解析：如果群中存在阶为无穷大的元素，那么这个群必然也是无限群。

如果群G和群H在代数结构上的对应关系保持了群的运算属性，那么这个关系称为：

A．同构

B．同胚

C．同态

D．直和

答案：A

解析：保持了群运算属性的对应关系，尤其是在群之间保持了代数结构的性质，这被称为群的同构。

在群G中，如果对于任意a,b∈

A．循环群

B．交换群

C．正规群

D．直积群

答案：B

解析：如果对于群中任意元素，其共轭运算等于自身，则意味着群是交换群。

群G的自同态群AutG

A．G的所有元素构成的群

B．G的所有子群构成的群

C．G的所有同构群构成的群

D．G的所有自同态构成的群

答案：D

解析：群G的自同态群AutG是所有