2023年新高二暑期数学衔接（新人教版）第01讲 平面向量的数量积（主干知识复习）（教师版）.docx

第01讲平面向量的数量积

【学习目标】

1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．

2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．

3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角．

5.能用坐标表示平面向量垂直的条件.

【基础知识】

一．平面向量的数量积

1．向量的夹角

已知两个非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．

2.平面向量的数量积

(1)设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b

(2)注意任何一个向量与零向量的数量积均为零。

解读：向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著的区别，两个向量的数量积，其结果是

数量，而不是向量．学习时必须透彻理解数量积概念的内涵．

二、投影向量

1.向量a在b方向上的投影向量为|a|cosθe(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定．

2.向量a在b方向上的投影向量eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|).

3.注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cosθeq\f(a,|a|).

三、平面向量数量积的性质

设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则

1.e·a＝a·e＝|a|cosθ.

2.a⊥b?a·b＝0.

3.当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.

特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).

(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).

(5)|a·b|≤|a||b|.

四、平面向量数量积满足的运算律

1.a·b＝b·a；

2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；

3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

五、平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到

1.若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq\r(x2＋y2).

2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).

3.设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.

4.若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).

六、平面向量数量积运算的常用公式

1.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.

2.(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.

3.(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.

七、平面向量与三角函数的综合问题的解题思路

1.题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．

2.给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．

八、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：

1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系；

3.把运算结果“翻译”成几何关系.

【考点剖析】

考点一：利用定义求平面向量的数量积

例1．(2022学年陕西省榆林市绥德中学、府谷中学高一下学期期中)已知向量，满足，，则(???????)

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】D

【解析】因为．故选D．

考点二：向量的投影向量

例2．(2022学年天津市河北区高一下学期期中)已知，，与的夹角为135°，则在方向上的投影向量为(???????)

A．－ B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，，与的夹角为135°，所以在方向上的投影为，所以在方向上的投影向量为－，故选A.

考点三：利用数量积的性质求向量的模

例3．(2022学年山东省潍坊市高一下学期5月优秀生测试)已知，是平面内的两个向量，，且，则(???????)

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，则，所以.

故选D

考点四：利用数量积性质求向量的夹角

例4．