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2025届高三(上)入学考试数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用交集的定义直接求解即可.
【详解】集合,,所以.
故选:C
2.设是虚数单位,则复数的共轭复数()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的乘方运算,结合共轭复数的意义求解即得.
【详解】复数,所以.
故选:A
3.某班统计一次数学测验成绩的平均分与方差,计算完毕才发现有个同学的分数还未录入,只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为,,新平均分和新方差分别为,,若此同学的得分恰好为,则()
A., B.,
C., D.,
【答案】C
【解析】
【分析】利用平均数和方差的公式即可求解.
【详解】设这个班有n个同学,分数分别是,,,…,,
第i个同学的成绩没录入,
第一次计算时,总分是,
方差;
第二次计算时,,
方差,
故.
故选:C.
4.甲、乙、丙、丁四个学生站成一排照相,要求学生甲必须站在学生乙的左边(两人可以不相邻),则不同的站法有()
A.24种 B.12种 C.18种 D.9种
【答案】B
【解析】
【分析】由于四个同学站成随机一排,甲在乙的左边和乙在甲的左边的机会均等,从而可求出结果
【详解】四个同学站成随机一排,甲在乙的左边和乙在甲的左边的机会均等,
故站法一共有种.
故选:B
5.将函数的图象沿轴向右平移个单位长度,得到函数的图象,则的最小值为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图像平移,解方程即可求得结果.
【详解】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度,
即可得,
故可得,解得,
又因为,故可得.
故选:A.
【点睛】本题考查由函数图像平移求函数解析式,属基础题.
6.设函数的定义域为R,且是奇函数,是偶函数,则()
A.0 B. C.1 D.2
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数性质,结合“赋值法”求函数值.
【详解】因为函数为奇函数,所以,
令得:;
因为偶函数,所以,
令得:,所以.
故选:A
7.在数学史上,中国古代数学名著《周髀算经》《九章算术》《孔子经》《张邱建算经》等,对等差级数(数列)和等比级数(数列),都有列举出计算的例子,说明中国古代对数列的研究曾作出一定的贡献.请同学们根据所学数列及有关知识求解下列问题.数阵中,每行的3个数依次成等差数列,每列的3个数依次成等比数列,若,则这9个数和的最小值为()
A.64 B. C.36 D.16
【答案】C
【解析】
【分析】简单的合情推理、等比数列、等差数列及重要不等式得:这9个数的和为,得解.
【详解】由数阵中,每行的3个数依次成等差数列,每列的3个数依次成等比数列,
设,,的公比为,
因为,所以,,
所以这9个数的和为,
即这9个数和的最小值为36,
故选:C.
【点睛】本题考查等差数列和等比数列中项的性质、基本不等式,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意三个数成等比数列的设法.
8.已知函数,若对
恒成立,则()
A. B.16 C. D.4
【答案】B
【解析】
【分析】分别代入解析式,求出即可.
【详解】当,则,
,
由于,则,则;经检验适合题意.
故.
故选:B
二、多选题:本题共3小题,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.已知实数,,满足,,则()
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】应用不等式的性质判断A,B,变形应用基本不等式求和的最小值判断C,D.
【详解】因为,,所以,,的符号不确定,
对A,当时,不成立,故A错误;
对B,由,,得,B正确;
对C,,,所以,当且仅当时取等号,故C正确;
对D,由,得,,故,
当且仅当,即时等号成立,故D错误.
故选:BC.
10.已知函数,则()
A.的图象关于轴对称 B.方程的解的个数为
C.的单调递增区间是 D.的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性,即可判断A;令,求出方程的解,即可判断B;利用导数求出函数的单调区间,即可判断C、D.
【详解】函数的定义域为,显然关于原点对称,
又,
所以偶函数,其图象关于轴对称,故A正确;
令,即,解得或或,
则方程的解的个数为,故B错误;
因为,
当或时,
所以单调递增区间是和,故C错误;
当或时,
所以的单调递减区间是和,
所以时,取得极小值,即的最小值是,故D正确.
故选:AD.
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