专题20 函数中的数列问题(含2021-2023高考真题)(解析版).docxVIP

专题20函数中的数列问题

一、单选题

1．已知一次函数的图像经过点和，令，记数列的前项和为，当时，的值等于（????）

A．24 B．25 C．23 D．26

【解析】∵一次函数的图像经过点和，可得，

解得，∴，，

，，得．

故选：A.

2．已知函数的图象在点处的切线的斜率为3，数列的前n项和为，则的值为（????）

A． B． C． D．

【解析】由题意得：，，解得：，

，

.故选：D

3．著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为牛顿数列，若函数，且，则的值是（????）

A．8 B．2 C．-4 D．-6

【解析】因为，则，

则，故，

所以数列是以首项，公差为的等数列，可得.故选：D.

4．已知函数，数列满足，，，则（????）

A．0 B．1 C．675 D．2023

【解析】的定义域为，且，

故为上的奇函数.而，

因在上为增函数，在为增函数，故为上的增函数.

又即为，故，

因为，故为周期数列且周期为3.

因为，所以.故选：B.

5．已知函数，数列满足，，则的值为（????）

A． B． C．2 D．3

【解析】由于的定义域为,所以，

所以为奇函数，因此由得，

由得，

所以数列为周期数列且周期为4，

又，故，故选：D

6．设是定义在上的奇函数，且满足，．数列满足，，则（????）

A．0 B．－1 C．2 D．－2

【解析】对于数列满足，且，变形可得：，

即，

则有：

.所以，所以.

因为是定义在上的奇函数，所以且.

因为，则有：，

则有，即是以3为周期的周期函数.

所以.故选：D

7．已知数列满足，且，数列满足，，则的最小值为（????）．

A． B．5 C． D．

【解析】由数列满足，，

根据等差数列的定义知，数列是首项为，公差为2的等差数列，

所以，，

当时，，

又满足，，所以.

设，根据对勾函数的性质可知，

当时，单调递减；当时，单调递增.

又，，所以，当时，有最小值为.故选：D.

8．设曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为，则数列的前2023项的积为（）

A． B． C． D．

【解析】因为，

所以，曲线在点处的切线斜率为，

所以，曲线在点处的切线方程为，

所以，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为，

所以，数列的前项的积为，

所以，数列的前2023项的积为.故选：D

二、多选题

9．已知函数，数列的前项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（????）

A． B．

C． D．

【解析】选项，，正确；

B选项，因为，当时，，单调递增，

所以，下证：

当时，，命题成立；

假设时，命题成立，即，则，即时，命题也成立，

所以对任意，都有，B正确；

C选项，因为，所以，C错误；

D选项，令，，

所以在单调递增，所以，

所以，则，

所以，即，

所以，所以D错误．故选：AB．

10．已知公比为的正项等比数列，其首项，前项和为，前项积为，且函数在点处切线斜率为1，则（????）

A．数列单调递增 B．数列单调递减

C．或5时，取值最大 D．

【解析】对A：因为，

故

则，，解得，

又，且数列是正项数列，故可得，故该数列单调递减，A错误；

对B：，由A知：，故，

故数列单调递减，B正确；

对C：由A可知：，又，

故数列的前4项均为大于的正数，从第项开始均为小于1的正数，

故当或时，取得最大值，C正确；

对D：因为，故，因为，

故可得，即，故D正确；

故选：BCD.

11．已知函数，数列的前项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述不正确的是（???）

A． B． C． D．

【解析】由知，，

故为非负数列，又，

设，则，

易知在，单调递减，且，

又，所以，从而，

所以为递减数列，且，故、错误；

又，故当时，有，

所以，故错误；

又，而，故正确．

故选．

12．定义在的函数满足，且，都有，若方程的解构成单调递增数列，则下列说法中正确的是（????）

A．

B．若数列为等差数列，则公差为6

C．若，则

D．若，则

【解析】因为都有，

令，则，即，可知在内的图象关于点对称，

根据题意作出在内的图象，如图所示：

??

对于选项A：因为定义在的函数满足，

则，故A正确；

对于选项B：由图象可知：若数列为等差数列，则，

此时与在内有且仅有一个交点，

因为，则，所以公差为6，故B正确；

对于选项C：若，则，

可得，

则，即与在内有且仅有2个交点，

结合图象可得，故C错误；

对于选项D：若，则与在内有且仅有3个交点，且，

因为，则，

所以数列是以首项为7，公差为12的等差数列，

可得，

所以，故D正确；

故选：ABD.

三、填空题

13．设且，已知数列满足，且是递增数列，则a的取值范围是__________．

【解析】因为是递