专题20 数列中常见的求和问题（解析版）.docxVIP

专题20数列中常见的求和问题

1、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______.

【答案】(1).5(2).

【解析】（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；

故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格；

（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想，

设，

则，

两式作差得：

，

因此，.

故答案为：；.

2、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．

（1）求的公比；

（2）若，求数列的前项和．

【解析】1）设的公比为，为的等差中项，

，

；

（2）设的前项和为，，

，①

，②

①②得，

，

.

3、（2023年全国甲卷数学（理））已知数列中，，设为前n项和，．

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）因为，

当时，，即；

当时，，即，

当时，，所以，

化简得：，当时，，即，

当时都满足上式，所以．

（2）因为，所以，

，

两式相减得，

，

，即，

4、【2021年新高考1卷】已知数列满足，

（1）记，写出，，并求数列的通项公式；

（2）求的前20项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】解：（1）[方法一]【最优解】：

显然为偶数，则，

所以，即，且，

所以是以2为首项，3为公差的等差数列，

于是．

[方法二]：奇偶分类讨论

由题意知，所以．

由（为奇数）及（为偶数）可知，

数列从第一项起，

若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，

若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．

所以，则．

[方法三]：累加法

由题意知数列满足．

所以，

，

则．

所以，数列的通项公式．

（2）[方法一]：奇偶分类讨论

．

[方法二]：分组求和

由题意知数列满足，

所以．

所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；

同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．

从而数列的前20项和为：

题组一、利用周期性（规律性求和）

1-1、（2022·江苏宿迁·高三期末）记表示不超过实数的最大整数，记，则的值为（）

A．5479 B．5485 C．5475 D．5482

【答案】B

【解析】由题意可知，当时，；

当时，；

当时，；

当时，，

所以.

故选：B

1-2、（2022·湖南郴州·高三期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.已知数列满足，且，若数列的前n项和为，则（）

A．4950 B．4953 C．4956 D．4959

【答案】C

【解析】由，可得，

根据累加法可得

所以，

故，当时，；当时，；当时，；当时，，

因此.

故选：C.

题组二、裂项相消求和

2-1、（2023·安徽宿州·统考一模）已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和______.

【答案】

【分析】根据给定的递推公式求出数列的通项，再利用裂项相消法求解作答.

【详解】数列的前n项和为，，，当时，，

两式相减得：，即，而，解得，

因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，

，

所以.

故答案为：.

2-2、（2023·江苏泰州·统考一模）在①成等比数列，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.

已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且满足__________，__________.

(1)求的通项公式；

(2)求.

注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.

【答案】(1)选①②，①③或②③均可得(2)

【分析】（1）选出两个条件，根据等差数列通项公式和求和公式基本量计算出首项和公差，得到通项公式；

（2）在第一问的基础上，得到，利用裂项相消法求和.

【详解】（1）若选①②，设公差为，

则，

解得：，

；

选①③，设公差为，

，

解得：，

；

选②③，设公差为，

，

解得：，

；

（2），

.

2-3、（2022·河北张家口·高三期末）已知是数列的前项和，.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【解析】

(1)当时，由，得，

则.

当时，有，