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专题10解析几何专题（新定义）

一、单选题

1．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似于伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系xOy中（O为坐标原点），把到定点和距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，记为Γ，已知为双纽线Γ上任意一点，有下列命题：

①双纽线Γ的方程为；

②面积最大值为；

③；

④的最大值为．

其中所有正确命题的序号是（????）

A．①② B．①②③

C．②③④ D．①②③④

2．（2023春·四川达州·高二四川省宣汉中学校考开学考试）定义：椭圆中长度为整数的焦点弦(过焦点的弦)为“好弦”．则椭圆中所有“好弦”的长度之和为（????）

A．162 B．166 C．312 D．364

3．（2023秋·湖南郴州·高二校考期末）城市的许多街道是互相垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点，定义两点间“距离”为，则平面内与轴上两个不同的定点的“距离”之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是（????）

A． B．

C． D．

4．（2022·江苏·高二专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆：的蒙日圆方程为，，分别为椭圆的左、右焦点.离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为36，则椭圆的长轴长为（????）

A． B． C． D．

5．（2023·全国·高三专题练习）加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆的蒙日圆的半径为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

6．（2021秋·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（????）

A． B． C． D．

7．（2021春·上海闵行·高二闵行中学校考期末）若曲线上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（）

A． B．

C． D．

8．（2021·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）在平面直角坐标系中，定义称为点的“和”，其中为坐标原点，对于下列结论：（1）“和”为1的点的轨迹围成的图形面积为2；（2）设是直线上任意一点，则点的“和”的最小值为2；（3）设是直线上任意一点，则使得“和”最小的点有无数个”的充要条件是；（4）设是椭圆上任意一点，则“和”的最大值为.其中正确的结论序号为（????）

A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4）

C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）

9．（2022秋·四川成都·高二成都外国语学校校考期中）若椭圆或双曲线上存在点，使得点到两个焦点的距离之比为，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（????）

A． B． C． D．

10．（2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知椭圆的焦点为、，若点在椭圆上，且满足（其中为坐标原点），则称点为“★”点.下列结论正确的是（????）

A．椭圆上的所有点都是“★”点

B．椭圆上仅有有限个点是“★”点

C．椭圆上的所有点都不是“★”点

D．椭圆上有无穷多个点（但不是所有的点）是“★”点

11．（2019秋·北京·高二北京市第十三中学校考期中）已知两定点，，若直线上存在点，使，则该直线为“型直线”，给出下列直线，其中是“型直线”的是（????）

①；②；③；④

A．①③ B．①② C．③④ D．①④

12．（2017春·吉林·高一统考期末）已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|≤4，则称该直线为“切割型直线”,下列直线中是“切割型直线”的是(????)

①;②;③;④.

A．①③ B．①② C．②③ D．③④

二、多选题

13．（2022秋·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo.设计师的灵感来源于曲线C：.其中星形线E：常用于超轻材料的设计.则下列关于星形线说法正确的是（????）

A．E关于y轴对称

B．E上的点到x轴、y轴的距离之积不超过

C．E上的点到原点距离的最小值为

D．曲线E所围成图形的面积小于2

14．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C的方程为，集合，若对于任意的，都存在，使得成立，则称曲线C为