专题14 导数与函数的单调性（九大题型+模拟精练）（解析版）.docxVIP

专题14导数与函数的单调性（九大题型+模拟精练）

目录：

01利用导数求函数的单调区间（不含参）

02用导数判断或证明函数的单调性

03含参分类讨论函数的单调区间

04由函数的在区间上的单调性求参数

05函数与导数图像之间的关系

06利用导数比较大小（含构造函数）

07利用导数解不等式

08抽象函数与导数

09用导数解决实际问题

01利用导数求函数的单调区间（不含参）

1．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的单调区间．

(1)；

(2)；

(3)．

【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为．

(2)单调递增区间为，单调递减区间为和.

(3)单调递增区间为，单调递减区间为和．

【分析】根据导数公式以及导数运算法则进行求导，令导数大于零，求得函数的增区间，令导数小于零，求得函数的减区间，逐一计算即可.

【解析】（1）函数的定义域为，．

令，得，令，得，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）函数的定义域为，

，

令，得；令，得或．

∴函数单调递增区间为，单调递减区间为和.

（3）函数的定义域为R，

，

令，得；令，得或．

∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．

2．（2024高三·全国·专题练习）函数单调递减区间是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求导后，令，解出即可.

【解析】,

令，解得，

所以单调递减区间为.

故选：A.

3．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间．

【解析】由得：，即的定义域为；

，

当时，；当时，；

的单调递增区间为．

故选：A．

02用导数判断或证明函数的单调性

4．（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知函数在处的切线方程为.

(1)求，的值；

(2)证明：在上单调递增.

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程组，解得即可；

（2）令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到当时，即当时，即可得证.

【解析】（1）因为，

所以，

依题意可得，即，解得，

所以.

（2）证明：由（1）可得，则，

令，，则，

所以在上单调递增，又，

所以当时，即当时，

所以在上单调递增.

5．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求证：在上单调递增．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由题意求导函数，求出切线的斜率和切点坐标，即可得出切线方程；

（2）证出导函数恒大于等于0即可.

【解析】（1）因为，

所以,

所以曲线在点处的切线方程为，

即．

（2）由（1）知，，

因为所以，又，

所以，

所以在上单调递增.

6．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）已知函数.

(1)求的解析式；

(2)判断在上的单调性.

【答案】(1)

(2)在上的单调递减.

【分析】（1）先对求导，再将代入到函数可求出，进而求出的解析式；

（2）先对求导，当时，，，所以恒成立，即可得出答案.

【解析】（1）因为，所以，

则，所以，

所以.

（2），

当时，，，

所以恒成立，

所以在上的单调递减.

03含参分类讨论函数的单调区间

7．（23-24高三上·湖北·期中）已知函数.

(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程；

(2)讨论函数的单调性.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）求导，根据导函数几何意义和平行关系得到方程，求出，从而得到，求出切线方程；

（2）求定义域，求导，对导函数因式分解，分，和三种情况，讨论得到函数的单调性.

【解析】（1），

由已知，

∴得

又

∴曲线在点处的切线方程为

化简得：

（2）定义域为R，

，令得或

①当即时，

令得或，令得，

故在单调递减，在，上单调递增；

②当即时，恒成立，

故在R上单调递增；

③当即时，

令得或，令得，

在上单调递减，在，上单调递增；

综上，当时，在单调递减，在，上单调递增；

当时，在R上单调递增；

当时，在上单调递减，在，上单调递增；

8．（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)讨论函数的单调性.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；

（2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间.

【解析】（1）当时，

则，所以，

因为，即切点为，

所以切线方程为，即.

（2）函数的定义域为，

又，

当时，恒成立，函数在上单调递增；

当时，则当时，当时，

所以函