专题12 双曲线中的离心率问题(解析版).docxVIP

专题12双曲线中的离心率问题

限时：120分钟满分：150分

一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设、分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与相交于、两点，若为正三角形，则的离心率为（????）

A． B． C． D．

【解析】设，因为轴，则点、关于轴对称，则为线段的中点，

??

因为为等边三角形，则，所以，，

所以，，则，

所以，，则，

因此，该双曲线的离心率为.故选：D.

2．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（????）

A． B． C． D．

【解析】双曲线的渐近线方程为，直线被圆所得截得的弦长为，

????

则圆心到直线的距离为，

由点到直线的距离公式可得，解得，则，

因此，双曲线的离心率为.故选：B.

3．已知双曲线：（，）的右焦点为，、两点在双曲线的左、右两支上，且，，，且点在双曲线上，则双曲线的离心率为（????）

A． B． C． D．

【解析】设双曲线的左焦点为，连接，

因为，所以，因为，所以，

因为，所以四边形为矩形，

设（），则，，

在中，，

所以，化简得，解得，

在中，，所以，所以，

所以，得，所以离心率，故选：B

4．如图，双曲线的左、右焦点分别为，，直线过点与双曲线的两条渐近线分别交于两点．若是的中点，且，则此双曲线的离心率为（????）

??

A． B．2 C． D．

【解析】因为，则，所以是直角三角形，又因为是的中点，

所以是直角斜边中线，因此，而点是线段的中点，

所以是等腰三角形，因此，由双曲线渐近线的对称性可知中：

，于是有：，

因为双曲线渐近线的方程为：，因此有：

，故选：B.

5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若在上存在点不是顶点，使得，则的离心率的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【解析】设与y轴交于Q点，连接，则，

??

因为，故P点在双曲线右支上，且，

故，而，故，

在中，，即，故，

由，且三角形内角和为，

故，则，

即，即，所以的离心率的取值范围为，故选：A

6．已知双曲线的两个焦点为，点在上，且，，则双曲线的离心率为（????）

A． B． C． D．

【解析】由于，所以，

则，解得，

由于，所以，

整理得，两边除以得，由于，故解得.

故选：B

??

7．已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【解析】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为，

设，则点到渐近线的距离.

由双曲线的定义可得，故，

所以，即的最小值为，

因为恒成立，所以恒成立，即恒成立，

所以，，即，即，

所以，，即，解得.故选：A.

??

8．已知双曲线的左顶点为，过的直线与的右支交于点，若线段的中点在圆上，且，则双曲线的离心率为（????）

A． B． C．2 D．3

【解析】设线段的中点为，双曲线的右顶点为，左右焦点为，连接，

因为线段的中点在圆上，所以，

所以≌，所以，因为，所以，

在中，由余弦定理得，

因为，所以，

所以，过作轴于，则，

所以，所以，得，所以，，所以，

所以离心率，故选：A

??

二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.

9．双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的值不可能是（????）

A． B． C． D．

【解析】

，

当且仅当即时取等号，所以.故选：CD.

10．双曲线的离心率为e，若过点能作该双曲线的两条切线，则e可能取值为（????）．

A． B． C． D．2

【解析】斜率不存在时不合题意，所以直线切线斜率一定存在，

设切线方程是，由得，

显然时，所得直线只有一条，不满足题意，所以，

由得，整理为，

由题意此方程有两不等实根，所以，，

则为双曲线的半焦距，，即，

代入方程，得，此时，

综上，e的范围是故选：AC

??

11．已知双曲线的左?右焦点分别为，过点的直线与圆相切，且与交于两点，若，则的离心率可能为（????）

A． B． C． D．

【解析】当点同时在双曲线的左支上时，设切点为，则，

.作交于点，则，

??

而O为的中点，则P为的中点，故，

因为，为锐角，故

所以，

，所以，则，

故双曲线的离心率.

当点在双曲线的两支上时，仍有，

????

因为，为锐角，故

所以，

，所以，则，

故双曲线的离心率，故选：AD

12．已知、是双曲线(，)的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为（????）.

A． B． C． D．

【解析】当时，设，则，设，如图，

??

双曲线的渐近线方程为，即，在中，，设，

又，则，又双曲线中，即有，

于是，，，