专题22 圆锥曲线与重心问题(解析版).docxVIP

专题22圆锥曲线与重心问题

限时：120分钟满分：150分

一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（???）

A． B．

C． D．

【解析】分别为椭圆的左、右焦点，

设，G点是三角形的重心，则，得，

又是椭圆E上一动点，，即，

又G点是三角形的重心，，所以点G的轨迹方程为，故选：B

2．已知是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率的最小值为（????）

A．1 B． C． D．

【解析】依题意，设，，，由，在轴上方，故，，

??

因为抛物线为，所以，

则，所以，则，

注意到，故，即，

又，代入可得，

故，即，解得，

当且仅当时，等号成立，因而.故选：B.

3．已知点为双曲线的虚轴的上顶点，为双曲线的右焦点，存在斜率为的直线交双曲线于点两点，且的重心为点，则双曲线的离心率为（????）

A． B． C．2 D．

【解析】，设，设斜率为的直线为，

联立，消去并整理得，

，，即，

设，，则，

，

因为的重心为点，所以，，

所以，，所以，，

消去得，得，得，

得，得，得，

得，.故选：A

4．已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的动点，，分别为的重心和内心，则（????）

A． B． C．2 D．

【解析】

由椭圆可得，，

如图，设的内切圆与三边分别相切与，，，

，分别为的重心和内心．则，，，

所以，

所以

，故选：D

5．椭圆的右焦点为，上顶点为，若存在直线与椭圆交于不同两点，重心为，直线的斜率取值范围是（????）

A． B． C． D．

【解析】设椭圆的半焦距为，由已知，，设，

因为重心为，所以，所以，

又，所以，所以，

所以直线的斜率，当且仅当时等号成立，

又，所以直线的斜率取值范围是，故选：B.

6．设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则的离心率的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【解析】由题意，双曲线的右焦点为，且，

设点为的中点，因为为的重心，所以，

即，解得，即，

因为直线与的右支交于两点，则满足，

整理得，解得或（舍去），

当离心率为时，即时，可得，此时，

设，可得，

又由，两式相减可得，

即直线的斜率为，

又因为，所以，此时四点共线，此时不满足题意，

综上可得，双曲线的离心率的取值范围为.故选：A.

7．已知F为抛物线的焦点，A，B，C为该抛物线上的三点，O为坐标原点，，，面积分别为，若F为的重心，且，则该抛物线的方程为（????）

A． B．

C． D．

【解析】设、、三点的坐标分别为，，，，，，

抛物线的焦点的坐标为,，，

，

、、在抛物线上，，，，

由此可得：，点是的重心，

，可得,

因此，,解得（负值舍去），

故该抛物线的方程为，故选：．

8．抛物线的焦点为，点、、在上，且的重心为，则的取值范围为

A． B． C． D．

【解析】由题意知，抛物线的焦点为，设点、、，

由重心的坐标公式得，，，

设直线的方程为，由，消去得，

，由韦达定理得，，

所以，，

故，，

将点的坐标代入抛物线的方程得，得，

则，得，

则.

不在直线上，则，此时，，则.

因此，的取值范围是.故选：A.

二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.

9．椭圆的左、右焦点分别是，是椭圆第一象限上的一点（不包括轴上的点），的重心是，的角平分线交x轴于点（m，0），下列说法正确的有（?????）

A．G的轨迹是椭圆的一部分 B．的长度范围是

C．取值范围是 D．

【解析】设重心，又，

∴，即，又是椭圆上一点，

∴，即，故A正确；

∵G的轨迹是椭圆的一部分，长半轴长为，短半轴长为，∴，故B错误；

根据内角平分线定理可知，，

又，∴，故C正确；

同样利用内角平分线定理与焦半径公式，由可知，，

∴，故D正确.

故选：ACD.

10．已知为抛物线上的三个点，焦点F是的重心．记直线AB，AC，BC的斜率分别为，则（????）

A．线段BC的中点坐标为

B．直线BC的方程为

C．

D．

【解析】设，因为F为重心，

所以，设BC中点，则，

，由重心分中线得，即，

又因为A在抛物线上，所以，所以，即，故A正确；

，

直线，故B正确；

因为，所以，所以，故C错误；

，同理，

所以，故D正确．

故选：ABD

11．设双曲线的右焦点为，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则（????）

A．的离心率的取值范围为

B．的离心率的取值范围为

C．直线斜率的取值范围为

D．直线斜率的取值范围为

【解析】设为的中点，根据重心性质可得，

因为，则，

因为直线与的右支