江苏省苏州市南航苏州附中2024届高三上学期12月月考数学试题含答案解析.docxVIP

南航苏州附中2023—2024学年第一学期高三年级十二月阳光测试

数学

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．

1.已知集合，则满足条件的实数的个数是（）

A.0 B.1 C.2 D.3

2.设复数对应的点在第四象限，则复数对应的点在（）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.条件，条件，则是的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上?下底面的半径分别为3和4，球的表面积为，则该圆台的体积为（）

A. B. C. D.

5.对于角，甲、乙、丙、丁4人有4种不同的判断，甲：的终边在直线上，乙：，丙：，丁：，若甲、乙、丙、丁4人中只有1人判断错误，则判断错误的是（）

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

6.已知M是圆上一个动点，且直线：与直线：（，）相交于点P，则的最小值是（）

A. B. C. D.

7.设数列的前项和为，且.若对任意的正整数，都有成立，则满足等式的所有正整数为（）

A.1或3 B.2或3 C.1或4 D.2或4

8.如图，已知双曲线的左?右焦点分别为，，过的直线与分别在第一?二象限交于两点，内切圆半径为，若，则的离心率为（）

A. B. C. D.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（）

A.可能取到数字4 B.中位数可能2

C.极差可能是4 D.众数可能是2

10.我国魏晋时期杰出的数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”，利用圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆周率.设圆内接正边形的周长为，圆的半径为，数列的通项公式为，则（）

A. B.

C.是递增数列 D.存在，当时，

11.半圆形量角器在第一象限内，且与轴、轴相切于D、E两点．设量角器直径，圆心为，点为坐标系内一点．下列选项正确的有（）

A.点坐标为 B.

C. D.若最小，则

12.如图过抛物线：的焦点作两条互相垂直的直线，，与相交于，两点，与相交于，，、分别是弦和弦的中点，则下列说法中正确的是（）

A.若点，则周长的最小值为

B.的最小值为

C.最小时，

D.和面积之和的最小值为8

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

13.函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为___________.

14.已知同一平面内的单位向量，，，满足，则______.

15.若函数在处的切线与的图像有三个公共点，则的取值范围________．

16.如图所示，已知三棱锥中，底面为等腰直角三角形，斜边，侧面为正三角形，D为中点，底面，则三棱锥外接球的表面积为_____.

四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17.在中，为上一点，满足，且．

（1）证明：．

（2）若，求．

18.某学校研究性学习小组在学习生物遗传学过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高（单位：）与父亲身高（单位：）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：

父亲身高

160

170

175

185

190

儿子身高

170

174

175

180

186

参考数据及公式：，，，，，

（1）根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？

（2）记，，其中为观测值，为预测值，为对应的残差．求（1）中儿子身高的残差的和、并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由．

19.已知各项均不为0数列的前项和为，且.

（1）若，求数列的前项和；

（2）若，求的最大值.

20.如图，在三棱锥中，，，.

（1）证明：平面平面；

（2）在线段上是否存在一点E，使得二面角的正切值为?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

21已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

22.已知双曲线，过点的