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聊一聊几何简史和主要概念

几何简史

几何的发展分两个阶段：19世纪前和19世纪以后。

在19世纪前，几何几乎完全专注于欧几里得几何，其中包括点、

线、平面、距离、角度、曲面和曲线的概念作为基本概念。

在19世纪，几项发现极大地扩大了几何学的范围，似乎可以在不

引入任何矛盾的情况下开发没有平行假设的几何（非欧几里得几何）。

作为广义相对论基础的几何是非欧几何的一个著名应用。

从那时起，几何的范围得到了极大的扩展，该领域被划分为许多

依赖于基础方法的子领域——微分几何、代数几何、计算几何、代数

拓扑、离散几何（也称为组合几何）等等。

几何最初是为了模拟物理世界而开发的，它几乎应用于所有科学

领域，也应用于与图形相关的艺术、建筑和其他活动。几何学在显然

不相关的数学领域也有应用。例如，代数几何方法是怀尔斯证明费马

大定理的基础，这个问题是用初等算术表述的，几个世纪以来一直没

有得到解决。

主要概念

以下是几何学中一些最重要的概念。

公理

欧几里得在他的《几何原理》中采用了抽象的几何方法，是有史

以来最有影响力的书籍之一。欧几里得引入了某些公理或假设，表达

了点、线和平面的主要或不言自明的性质。他开始通过数学推理严格

推导出其他性质。欧几里得几何方法的特点是其严谨性，它已被称为

公理几何或综合几何。19世纪初，非欧几何的发现引起了人们对这门

学科的兴趣，在20世纪，希尔伯特采用公理推理试图提供现代几何基

础。

研究对象

点

点通常被认为是构建几何图形的基本对象。它们可以由它们必须

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具有的属性来定义，如在欧几里得的定义中“没有部分的东西”，或

在综合几何中。在现代数学中，它们通常被定义为称为空间的集合的

元素，它本身是公理定义的。

通过这些现代定义，每个几何形状都被定义为一组点；在合成几

何中情况并非如此，其中一条线是另一个基本对象，不被视为它通过

的点的集合。

然而，在现代几何学中，点不是原始对象，甚至没有点。

线

欧几里得将一条线描述为“无限长度”，它“与自身上的点相

等”。在现代数学中，考虑到几何图形的多样性，线的概念与几何图

形的描述方式密切相关。例如，在解析几何中，平面中的线通常被定

义为坐标满足给定线性方程的点集，但在更抽象的设置中，例如入射

几何，线可能是独立对象，与位于其上的点集不同。在微分几何中，

测地线是对线概念的推广弯曲的空间。

平面

在欧几里得几何中，平面是无限延伸的平面二维表面。其他类型

几何的定义是对其的概括。平面用于几何的许多领域。例如，可以将

平面作为拓扑表面来研究，而无需参考距离或角度；它可以作为仿射

空间进行研究，其中可以研究共线性和比率，但不能研究距离；可以

使用复分析技术将其研究为复平面；等等。

角度

欧几里得将平面角定义为在一个平面内，两条相交的直线彼此之

间的倾角，并且彼此之间不成直线。在现代术语中，角是由两条射线

形成的图形，称为角的边，共享一个共同的端点，称为角的顶点。

在欧几里得几何中，角度用于研究多边形和三角形，以及它们本

身的研究对象。对三角形内角或单位圆内角的研究构成了三角学的基

础。

在微分几何