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2025届新高三开学考试卷
数学
(考试时间:120分钟试卷满分:150分)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分选择题(共58分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则(???)
A. B.
C.或 D.
2.为虚数单位,若z=3i2?4i,则z=
A.5 B.7 C.9 D.25
3.已知向量.若与平行,则实数λ的值为(????)
A. B. C.1 D.
4.已知,则(???)
A. B. C. D.
5.陀螺起源于我国,最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知,底面圆的直径,圆柱体部分的高,圆锥体部分的高,则这个陀螺的表面积(单位:)是(???)
??
A. B. C. D.
6.若函数在上单调递增,则实数的取值范围为(????)
A. B. C. D.
函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是(????)
A. B. C. D.
8.函数是定义在R上的偶函数,且,若,,则(????)
A.4 B.2 C.1 D.0
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.李明每天7:00从家里出发去学校,有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时30分钟,样本方差为36;自行车平均用时34分钟,样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布,则(????)
A.P(X>32)>P(Y>32)
B.P(X≤36)=P(Y≤36)
C.李明计划7:34前到校,应选择坐公交车
D.李明计划7:40前到校,应选择骑自行车
10.已知函数,则下列说法正确的有(????)
A.f(x)无最大值 B.f(x)有唯一零点
C.f(x)在(0,+∞)单调递增 D.f(0)为f(x)的一个极小值
11.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线,它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系中,,,动点P满足,其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是(????)
A.曲线C与y轴的交点为, B.曲线C关于x轴对称
C.△PMN面积的最大值为2 D.的取值范围是
第二部分(非选择题共92分)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知双曲线分别为其左?右焦点,为双曲线上一点,,且直线的斜率为2,则双曲线的离心率为.
13.已知函数的图象与函数的图象在公共点处有相同的切线,则公共点坐标为.
14.在n维空间中(,),以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标,其中.则5维“立方体”的顶点个数是;定义:在n维空间中两点与的曼哈顿距离为.在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点,记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离,则.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15.(13分)
已知△ABC的内角的对边分别为的面积为.
(1)求;
(2)若,且△ABC的周长为5,设为边BC中点,求AD.
16.(15分)
设椭圆的左焦点为,右顶点为A,离心率为.已知A是抛物线的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.
(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;
(2)设l上两点P,Q,关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线与x轴相交于点D.若的面积为,求直线AP的方程.
17.(15分)
在底面为梯形的多面体中.,且四边形为矩形.点在线段上.
??(1)点是线段中点时,求证:平面;
(2)是否存在点,使得直线与平面所成的角为60°?若存在,求.若不存在,请说明理由.
18.(17分)
已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)设函数.
(ⅰ)求的值;
(ⅱ)证明:存在实数,使得曲线关于直线对称.
(17分)
若有穷数列(是正整数),满足,,…,即(是正整数,且),就称该数列为“对称数列”.
(1)已知数列是项数为8的对称数列,且,,,成等差数列,,,试写出的每一项.
(2)已知是项数为(其中,且)的对称数列,且构成首项为
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