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专题04立体几何
题型一平面的基本性质【频次0.4,难度0.3】
例1下列命题不正确的是(????)
A.若,且,则
B.若,且,则
C.若直线直线,则直线与直线确定一个平面
D.三点确定一个平面.
【答案】D
【分析】A.由公理3:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的直线.可判断A正确;B.由公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线也在此平面内.可判断B正确;C.由两条相交直线确定一个平面可知,C正确.D.三点共线时不能确定一个平面,所以D错误.
【详解】解:对于A:由公理3:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的直线.A中,平面与平面有一个交点,则有一条交线,且在交线上.所以A正确.
对于B:由公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线也在此平面内.所以B真确.
对于C:由两条相交直线确定一个平面可知,C正确.
对于D:由公理2:不共线的三点确定一个平面可知,三点共线时不能确定一个平面,所以D错误.
故选:D
变式1下列说法中正确的是
A.空间不同的三点确定一个平面
B.空间两两相交的三条直线确定一个平面
C.空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形
D.和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内
【答案】D
【详解】因为
A.空间不同的三点确定一个平面,错误.
B.空间两两相交的三条直线确定一个平面,可以构成棱锥,错误
C.空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形,可以使三棱锥错误
D.和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内,成立,故选D
例2以下命题正确的是
A.两个平面可以只有一个交点
B.一条直线与一个平面最多有一个公共点
C.两个平面有一个公共点,它们可能相交
D.两个平面有三个公共点,它们一定重合
【答案】C
【详解】试题分析:两个平面只要有一个公共点,就有一条通过该点的公共直线,故A错
一条直线若在平面内,其上的所有点都在平面内,故B错
两个平面有一个公共点,它们可能相交也可能是同一个平面,故C对,选C.
变式2下列命题中,正确的是(????)
A.3点确定一个平面
B.一条直线和一个点确定一个平面
C.两个平面相交,可以只有一个公共点
D.三角形是平面图形
【答案】D
【解析】根据基本事实1、2和3及基本事实1的推论逐一判断.
【详解】解:不共线的3点确定一个平面,故A错;
一条直线和直线外一点确定一个平面,故B错;
两个平面相交,有一条公共直线,有无数个公共点,故C错;
三角形的两条边一定相交,根据基本事实1的推论2“过两条相交直线,有且只有一个平面”,三角形的两条边确定一个平面,而第三边的两个端点在该平面内,根据基本事实2“如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内”确定第三边在该平面内,故三角形是一个平面图形,D对;
故选:D.
题型二直线和直线的位置关系【频次0.5,难度0.5】
例3如图,四面体中,,,E,F分别是的中点,若,则与所成的角的大小是(????)
??
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据已知,结合图形,利用中位线,把异面直线所成角的问题转化为三角形的夹角,
根据等角定理以及三角形的性质求解.
【详解】
??
如图,取中点,连接、,因为E,F分别是的中点,
所以,,又,,
所以,,
因为,所以,
所以在中,,所以,
因为,根据等角定理可知,
与所成的角的大小是,故B,C,D错误.
故选:A.
变式3如图,正方体中,直线和所成角的大小为()
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】连结,,则,是异面直线与所成角(或所成角的补角),由此能求出异面直线与所成角的大小.
【详解】解:连结,,
在正方体中,且,所以四边形为平行四边形,
,是异面直线与所成角(或所成角的补角),
,
,
异面直线与所成角的大小是.
故选:C.
例4已知直线l和平面,若直线l在空间中任意放置,则在平面内总有直线和(??)
A.垂直 B.平行 C.异面 D.相交
【答案】A
【分析】本题可以从直线与平面的位置关系入手:直线与平面的位置关系可以分为三种:直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行,在这三种情况下再讨论平面中的直线与已知直线的关系,通过比较可知:每种情况都有可能垂直.
【详解】当直线l与平面相交时,
平面内的任意一条直线与直线l的关系只有两种:异面、相交,此时就不可能平行了,故B错.
当直线l与平面平行时,
平面内的任意一条直线与直线l的关系只有两种:异面、平行,此时就不可能相交了,故D错.
当直线a在平面内时,
平面内的任意一条直线与直线l的关系只有两种:平行、相交,此时就不可能异面了,故C错.
不管直线l与平面的位置关系相交、平行,还是在平面内,
都可以在
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