初三数学综合题：圆解三角形相似全等，中考重点，解法精妙，收藏.pdfVIP

初三数学综合题：圆解三角形相似全等，中考重点，解法精妙，收藏

考进这里也好

经典例题及附图

如图，平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（0，-4）和（8，0），圆心为（3，0）的⊙P

与x轴交于O，Q两点，MP的延长线交⊙P于点A，NA的延长线交y轴于点E，点B为x轴下方弧

OQ的中点，连接AB交x轴于点C，连接EP交⊙P于点F，QF交y轴于点G。

（1）判断NA是否为⊙P的切线并证明（要求用两种方法）；

（2）求线段AC和AB的比值和乘积（要求至少用两种方法）；

（3）经测量，EF=OG，请证明（要求尽量用两种方法）。

经典例题附图

第一问的分析和求解

请注意两点：第一，紧抓证切线的精髓：切线垂直于经过切点的半径。第二，做第一问时，必

须画出第一问的图！其它花里胡哨的都别画！否则引起思路混乱！

证法一：证全等。

∵点O和A都在⊙P上，

∴PA=PO=3，

Rt△POM中由勾股定理PM=5，

而PN=ON-OP=8-3=5，

∴PN=PM，

在△PAN和△POM中，

PA=PO，∠1=∠2，PN=PM，

∴△PAN≌△POM（SAS）

∴∠PAN=∠POM=90°，

∴NA⊥半径PA，

即NA是⊙P的切线。

第一问证切线附图

证法二：连接MN，通过SAS

证△MAN≌△NOM即可。

第二问的分析和求解

问得刁钻，要求又高，使人情迷意乱、不知从何下手。

新中考精准辅导

解法一：死板板地求出AC和AB。

连接BP，过点A作AD⊥x轴于D，

先求AD：

求法一是根据Rt△APN面积转换，

AP×AN÷2=PN×AD÷2，

即3×4=5×AD，AD=12/5。

求法二是根据三角函数转换，

Sin∠1=sin∠2，

AD:AP=OM:MP，AD:3=4:5。

求法三是根据平行，AD∥OM，

AD:OM=AP:MP，AD:4=3:5。

第二问解法一附图

求出AD之后，

根据勾股定理或三角函数PD=9/5，

即CD+PC=9/5①

欲求出PC和CD的具体值，

还需要再找一个PC和CD的关系式，

∵点B为x轴下方弧OQ的中点，

∴BP⊥x轴，则AD∥BP，

∴CD:PC=AD:BP=(12/5):3=4:5②

由①②知，CD=4/5，PC=1，

第二问的解法一结束

解法二：利用相似，如下图。

您说△CAQ与△OAB是否相似？

∵点B为弧OQ的中点，

∴弧BQ=弧OB，∠CAQ=∠OAB，

又同弧OA所对的圆周角相等，

∠3=∠B，故△CAQ∽△OAB，

∴AC:AO=AQ:AB，

∴AC×AB=AO×AQ。

第二问解法二附图

下面求AO×AQ：

您说△NAQ与△NOA是否相似？

弦切角∠4等于所夹弧对的圆周角

∠5，∠N公共角，故相似，

∴AQ:OA=NA:NO=4:8=1:2③

∵OQ为⊙P直径，∠OAQ=90°，

第二问的解法二

求AO×AQ，其实不用这么麻烦，

用Rt△AOQ面积转换就很轻松：

AO×AQ÷2=OQ×AD÷2，即

AO×AQ=6×(12/5)=72/5。

有同学说，还有求AO×AQ的方法！

我赞同。tan∠N=AP:AN=3:4，

OE=ON×tan∠N=8×(3/4)=6，

求AO×AQ的发散思维

第二问结束

第三问的分析和求解

求证EF=OG，也是头疼事啊。可以硬求二者的具体值，如解法一；也可以更巧妙、文明一点，

如解法二。

解法一：

第三问解法一附图

第三问解法一，用到了高中知识

解法二：

∵tan∠N=AP:AN=3:4，

∴OE=ON×tan∠N=8×(3/4)=6，

即OE=OQ。

第三问解法二附图

∵OQ为⊙P直径，OF⊥GQ，

∴Rt△GOF∽Rt△GQO，

∴OG:OQ=GF:OF⑤

∵∠9=∠10=∠11，

弦切角∠8=∠11，∴∠8=∠9，

∴△EFG∽Rt△EOF，

∴GF:OF=EF:OE⑥

由⑤⑥知OG:OQ=EF:OE，

而OE=OQ已证，

∴OG=EF。

这道典型好题，综合性较强，关键是解法精妙，值得仔细阅读。