北师版高中数学选择性必修第二册精品课件 第一章 1.2 数列的函数特性.ppt

1.2数列的函数特性第一章

内容索引010203自主预习新知导学合作探究释疑解惑随堂练习

课标定位素养阐释1.了解数列的图象.2.掌握数列的增减性,并能判断所给数列的增减性.3.注重直观想象和逻辑推理能力的培养.

自主预习新知导学

一、数列的图象【问题思考】1.函数f1(x)=2x,x∈R与f2(x)=2x,x∈N+的图象相同吗?提示:不同.f1(x)=2x,x∈R的图象是一条直线,而f2(x)=2x,x∈N+的图象是直线y=2x上横坐标为正整数的所有点.2.可以把一个数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数,因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列,图象中每个点的坐标为(n,an),n=1,2,3,…这个图象也称为数列的图象.

解:分别取n=1,2,3,4,…,得到相应各点(1,1),,….描点即得数列{an}的图象(如图1-1-1).3.试作出数列{an}的图象,其中(n∈N+).图1-1-1

二、数列的增减性【问题思考】1.对于数列{an}和{bn},已知,试问{an},{bn}的项有什么变化规律?提示:随着n的增大,{an}的项越来越大;{bn}的项越来越小.

3.想一想:是否存在不是递增数列,不是递减数列,也不是常数列的数列?试举例说明.提示:存在.如数列an=(-1)n.2.递增数列、递减数列、常数列的概念(如表1-1-1)表1-1-1名称定义表达式图象特点递增数列从第2项起,每一项都大于它的前一项an+1an(n∈N+)上升递减数列从第2项起,每一项都小于它的前一项an+1an(n∈N+)下降常数列各项都相等an+1=an(n∈N+)不升不降

4.若函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,那么数列an=f(n)一定是递增数列吗?反之,是否一定成立?提示:一定是递增数列,反之,不一定成立,例如an=n2-n(n∈N+)是递增数列,但f(x)=x2-x在区间[1,+∞)上不是增函数.

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)数列{an}图象上的点的横坐标一定是正整数.(√)(2)若?n∈N+,1,则数列{an}是递增数列.(×)(3)若?m,n∈N+,且mn,使得aman,则数列{an}不是递增数列.(√)(4)若数列{an},an=kn+b是递增数列,则k0.(√)

合作探究释疑解惑

探究一数列增减性的判断【例1】已知数列{an}的通项公式为an=3n2-n,判断数列{an}的增减性.分析解法一:先写出an+1,通过比较an+1-an与0的大小判断{an}的增减性,解法二:通过比较与1的大小及an的正负判断{an}的增减性,解法三:利用函数y=3x2-x的图象判断{an}的增减性.解法一:an=3n2-n,an+1=3(n+1)2-(n+1),则an+1-an=3(n+1)2-(n+1)-(3n2-n)=6n+20,即an+1an(n∈N+),故数列{an}是递增数列.解法二:an=3n2-n,an+1=3(n+1)2-(n+1),则又an0,故an+1an,即数列{an}是递增数列.

本例中,数列{an}是否有最大项?最小项呢?解:无最大项;有最小项,为a1=3×12-1=2.

判断数列增减性的常用方法(1)根据定义判断:若an+1an,则{an}是递增数列;若an+1an,则{an}是递减数列;若an+1=an,则{an}是常数列.(2)作差法:若an+1-an0,则{an}是递增数列;若an+1-an0,则{an}是递减数列;若an+1-an=0,则{an}是常数列.(4)由函数图象判断.

【变式训练1】已知数列{an}的通项公式为an=n2-2λn,且数列{an}为递增数列,则λ的取值范围为.?解析:若数列{an}为递增数列,则有an+1-an0,即2n+12λ对任意的n∈N+都成立,于是有32λ,λ.

探究二数列的图象【例2】已知数列{an}的通项公式为an=n2-10n+10,这个数列从第几项起各项的数值逐渐增大?从第几项起各项的数值均为正值?数列中是否还存在数值与首项相同的项?分析画出数列{an}的图象,借助图象求解.解:数列{an}的各点都在函数y=x2-10x+10的图象(如图1-1-2)上.由图1-1-2可得,这个数列从第5项起各项的数值逐渐增大,从第9项起各项的数值均为正值,第9项是与首项相同的项.图1-1-2

数列的项