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§4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较*§5信息技术支持的函数研究
自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑
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指数函数、幂函数、对数函数增长的比较【问题思考】1.阅读材料,回答下列问题.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:方案一:每天回报40元;方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一倍.
请问,你会选择哪种投资方案?(1)设第x天所得的回报为y元,那么上述三种投资方案对应的函数模型分别是什么?(2)上述三个函数分别是什么类型的函数?其单调性如何?(3)一般情况下,函数y=ax(a1),y=logax(a1)和y=xn(n0)在区间(0,+∞)上的增长速度是怎样的?(4)判断某个增函数增长快慢的依据是什么?
提示:(1)方案一对应的函数为y=40(x∈N+);方案二对应的函数为y=10x(x∈N+);方案三对应的函数为y=0.4×2x-1(x∈N+).(2)函数y=40(x∈N+)是常数函数,是不增不减函数;函数y=10x(x∈N+)是一次函数,是增函数;函数y=0.4×2x-1(x∈N+)是指数型函数,是增函数.(3)y=ax(a1)中y随x的增大,增长速度越来越快,y=logax(a1)中y随x的增大,增长速度会越来越慢,y=xn(n0)中y随x的增大,增长速度与n值有关.(4)依据是自变量每改变一个单位,函数值增长量的大小.增长量越大,增长速度越快.
2.对于y=ax(a1),y=logbx(b1)和y=xc(x0,c0)这三个函数,随着自变量x的增大,y=ax的函数值增长远远大于y=xc的函数值增长;而y=xc的函数值增长又远远大于y=logbx的函数值增长.当底数a1时,由于指数函数y=ax的值增长非常快,人们称这种现象为“指数爆炸”.
3.下列函数随x的增大而增大且速度最快的是()答案:A
合作探究·释疑解惑探究一探究二
探究一比较大小
(方法2)画出函数y1=log3x,y2=log5x的图象,如图所示,由图可知,当x1时,函数y=log3x的大致图象在函数y=log5x的图象的上方,∴log32.5log52.5.
解决这类题目的关键在于构造适当的函数,若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同而底数相同,则考虑指数函数;若底数不同,指数也不同,需引入中间量,利用幂函数与指数函数的单调性,也可以借助幂函数与指数函数的图象.
探究二指数函数、对数函数与幂函数模型的应用【例2】某汽车制造商在2024年初公告:公司计划2024年生产目标定为43万辆.已知该公司2021年、2022年、2023年的汽车生产量如表(将2021年定义为第一年).第x年123年产量y/万辆81830现在有两个函数模型:一元二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0)和指数函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b0,且b≠1),哪个模型能更好地反映该公司年产量y与x的关系?
解:建立年产量y(单位:万辆)与x的函数,可知该函数图象必过点(1,8),(2,18),(3,30).将点(1,8),(2,18),(3,30)的坐标分别代入f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,
与计划误差为1.4.综上可得,函数模型f(x)=x2+7x能更好地反映该公司年产量y与x的关系.
数学知识来源于客观实际,服务于实际生活.数学是人们认识世界、改造世界的工具,其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规律需要不同的函数模型来描述.面临一个实际问题,选择合适的数学模型是一件非常重要的事情,根据三种不同的增长模型的特点,选择符合实际的模型,才能产生更大的经济效益.
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